تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 40 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 48 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 11 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 40N₂ = 48η = 98%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 24 سنًّا ولكل ترس كوكبي 20 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 900 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 24N_p = 20n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم طوله 2,5 m يحمل عزم التواء 2000 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 0,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 2000 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 20 kW بسرعة 1800 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,75 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 20 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 140 MPa و σᵧ = 100 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 170 MPa؟

σ_x = 140 MPaσ_y = 100 MPaσ₁ = 170 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −80 MPa، σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 250 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = −80 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 20 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 60 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 30 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 30 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 150 kg يحملها نابض جساءته 150 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 760 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 150 kgk = 150 kN/mc = 760 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 25 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 60 kN/m والسفلي k₂ = 80 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 25 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 72,44 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/151,8 = 72,44 N·m

الإجابة

T₁ = 72,44 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 245,5 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 24 + 2·20 = 64

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −64/24

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·24/88 = 245,5 rpm

الإجابة

n_c = 245,5 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 122,4 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 2 × 10⁶·2500/(26000·0,008727) = 2,204 × 10⁷ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 122,4 mm

الإجابة

d = 122,4 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 25,1 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 20000/188,5 = 106,1 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 106,1 N·m = 106103 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·106103/(π·50·0,6836)) = 25,1 mm

d_i = 0,75·25,1 = 18,82 mm

الإجابة

d_o = 25,1 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 22,11 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 45,83 MPa

نصف القطر المطلوب

C = (140 + 100)/2 = 120 MPa

R = σ₁ − C = 170 − 120 = 50 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 20²) = 45,83 MPa

الإجابة

τ_xy = 45,83 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 2,12

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = −20 MPa, R = 67,08 MPa

σ₁ = 47,08 MPa, σ₂ = −87,08 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(47,08² − 47,08·(−87,08) + (−87,08)²) = 117,9 MPa

n = 250/117,9 = 2,12

الإجابة

n = 2,12

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 2865 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/100000 = 0,002865 = 2865 µε

الإجابة

ε = 2865 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 360,5 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·5027 = 6,008 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0006) = 0,0006 (النحاس الأصفر)

أكبر حمل

P_max = 0,0006·6,008 × 10⁸ = 360498 N = 360,5 kN

الإجابة

P_max = 360,5 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 118,4 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1500² = 118435 N = 118,4 kN

الإجابة

P_cr = 118,4 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 44,35 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 44,35 mm

الإجابة

d = 44,35 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 225,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,08011

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(150000·150) = 9487 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 760/9487 = 0,08011

الإجابة

ζ = 0,08011

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 5,894 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/80 → k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34,29 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(34286/25) = 37,03 rad/s

f_n = 37,03/(2π) = 5,894 Hz

الإجابة

f_n = 5,894 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design