التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
تدير بكرة قطرها 125 mm تدور بسرعة 720 rpm بكرةً قطرها 250 mm بسير انزلاقه 1 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n2.
n1 = 720 rpmd1 = 125 mmd2 = 250 mms = 1 %
n2 = rpm
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
محرّك قدرته 7,5 kW بسرعة 1440 rpm يدير الترس A (12 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (25 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (72 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج Tout.
P = 7,5 kWnin = 1440 rpmA = 12B = 25C = 15D = 72ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مجوّف من النحاس الأصفر (قطره الخارجي 30 mm، وقطره الداخلي 18 mm، وطوله 1,2 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 500 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.
T = 500 N·mdo = 30 mmdi = 18 mmL = 1,2 mG = 39 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 15 kW بسرعة 1500 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,25° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.
P = 15 kWN = 1500 rpmτallow = 60 MPaθallow = 0,25°/mG = 26 GPa
d = mm
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −70 MPa و σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τmax.
σx = −70 MPaσy = 70 MPaτxy = −20 MPa
τmax = MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 100 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.
σx = 100 MPaσy = 100 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa). طول كل منهما 400 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 300 kN. أوجد الانضغاط δ.
P = 300 kNالقضيب: Ø40 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
P = 120 kNالجزء 1: Ø30 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 60 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm
σcr = MPa
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 8 kg يحملها نابض جساءته 8 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 150 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.
m = 8 kgk = 8 kN/mc = 150 N·s/m
ζ =
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 10 kg معلّقة بالنابض k₃ = 12 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 100 kN/m و k₂ = 100 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 10 kgk1 = 100 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: n2 = 356,4 rpm
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
السرعة من دون انزلاق
720·125/250 = 360 rpm
مع الانزلاق
n2 = 360·0,99 = 356,4 rpm
الإجابة
n2 = 356,4 rpm
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Tout = 448,9 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة الخرج
nout = 1440·(12/25)·(15/72) = 144 rpm
ωout = 2π·144/60 = 15,08 rad/s
قدرة الخرج والعزم
Pout = 7500·0,95² = 6769 W
Tout = Pout/ωout = 6769/15,08 = 448,9 N·m
الإجابة
Tout = 448,9 N·m
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 12,74 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π(30⁴ − 18⁴)/32 = 69216 mm⁴
زاوية الالتواء
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 1,2 m = 1200 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·1200/(39000·69216) = 0,2223 rad
φ = 0,2223·180/π = 12,74°
الإجابة
φ = 12,74°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 54,11 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m
القطر وفق المقاومة
T = 95,49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm
القطر وفق الجساءة
θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·95493/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))1/4 = 54,11 mm
القطر الحاكم
يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.
d = max(20,09, 54,11) = 54,11 mm
الإجابة
d = 54,11 mm
هنا تحكم الجساءة.
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τmax = 72,8 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
نصف قطر دائرة مور
τmax = R = √(((−70 − 70)/2)² + −20²) = 72,8 MPa
الإجابة
τmax = 72,8 MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σθ = 117,3 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل
σθ = 100 + 0·0,5 + −20·−0,866 = 117,3 MPa
الإجابة
σθ = 117,3 MPa
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 0,1091 mm
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²
الصلابة المحورية المشتركة
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·8482 = 1,1 × 10⁹ N
الانضغاط
δ = 300000·400/1,1 × 10⁹ = 0,1091 mm
الإجابة
δ = 0,1091 mm
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σmax = 1061 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
القوة نفسها في الجزأين
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 169,8 MPa
σ2 = 1061 MPa
أكبر إجهاد
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
σmax = 1061 MPa
الإجابة
σmax = 1061 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 21,15 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,7·3000 = 2100 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/2100² = 21149 N = 21,15 kN
الإجابة
Pcr = 21,15 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: σcr = 25,18 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
نصف قطر الدوران والنحافة
A = 314,2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/5 = 280
الإجهاد الحرج
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa
الإجابة
σcr = 25,18 MPa
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: ζ = 0,2965
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التخميد الحرج
cc = 2·√(k·m) = 2·√(8000·8) = 506 N·s/m
نسبة التخميد
ζ = c/cc = 150/506 = 0,2965
الإجابة
ζ = 0,2965
ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 5,355 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
k1 و k2 فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k3، لذا ادمجهما بالمقلوبات.
k12 = 100 + 100 = 200 kN/m
keq = 200·12/(200 + 12) = 11,32 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(11321/10) = 33,65 rad/s
fn = 33,65/(2π) = 5,355 Hz
الإجابة
fn = 5,355 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design