تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 125 mm تدور بسرعة 1450 rpm بكرةً قطرها 450 mm بسير انزلاقه 2 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 450 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 150 mm تدور بسرعة 1440 rpm وبكرة قطرها 315 mm؛ والمسافة بين المركزين 500 mm. معامل الاحتكاك 0,35 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 600 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 500 mmμ = 0,35T₁ = 600 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 100 kW عند 500 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 64 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 140 MPa، σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 35° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 140 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 120 MPa و σᵧ = 80 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 120 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 50 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 75 kNالجزء 1: Ø25 mm، 2 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 50 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 50 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 20 mm بعد 2 دورات قمةٌ مقدارها 5,7 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 20 mmx₂ = 5,7 mmn = 2

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 50 kN/m و k₂ = 15 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 394,7 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

1450·125/450 = 402,8 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 402,8·0,98 = 394,7 rpm

الإجابة

n₂ = 394,7 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 4,248 kW

زاوية الالتفاف

θ = 2,81 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,9835 = 2,674, T₂ = 600/2,674 = 224,4 N

القدرة

P = (600 − 224,4)·11,31 = 4,248 kW

الإجابة

P = 4,248 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 2,241 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·38350) = 0,03911 rad

φ = 0,03911·180/π = 2,241°

الإجابة

φ = 2,241°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 32,18 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(80⁴ − 64⁴)/32 = 2,374 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,91 × 10⁶·40/2,374 × 10⁶ = 32,18 MPa

الإجابة

τ_max = 32,18 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 76,92 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 100 − 40·0,342 − 10·0,9397 = 76,92 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 123,1 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 76,92 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 127,3 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 100 + 20·0,5 + −20·−0,866 = 127,3 MPa

الإجابة

σ_θ = 127,3 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,487 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/201,1 = 248,7 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 248,7/100000 = 0,002487 = 2487 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,002487·1000 mm = 2,487 mm

الإجابة

δ = 2,487 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,548 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 152,8 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 152,8·2000/200000 = 1,528 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 238,7·500/117000 = 1,02 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,548 mm

الإجابة

δ = 2,548 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 12,56 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2500² = 12558 N = 12,56 kN

الإجابة

P_cr = 12,56 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 65,32 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 65,32 mm

الإجابة

d = 65,32 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 257,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,0994

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/2)·ln(20/5,7) = 0,6276

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,6276/√(39,48 + 0,3939) = 0,0994

الإجابة

ζ = 0,0994

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 65 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 50 + 15 = 65 kN/m

الإجابة

k_eq = 65 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design