تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 1500 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 30 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 48 سنًّا. كفاءة زوج التروس 98%. أوجد عزم الخرج T₂ على عمود الترس.

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 30N₂ = 48η = 98%

T₂ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (20 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 1450 rpm الترسَ B (25 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (50 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 1450 rpmA = 20B = 25C = 18D = 50

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ ينقل 5 kW بسرعة 1000 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 1° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = −20 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 60 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 800 mm وسُمك جداره 6 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 30° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 800 mmt = 6 mmp = 0,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 45 kNd = 16 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 40 mm والطول 300 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 100 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 50 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 36,5 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 50 mmx₁ = 36,5 mmn = 1

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 10 kN/m و k₂ = 15 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₂ = 29,95 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157,1 = 19,1 N·m

عزم الخرج

T₂ = 19,1·48/30·0,98 = 29,95 N·m

الإجابة

T₂ = 29,95 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 417,6 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 1450·20/25 = 1160 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 1160·18/50 = 417,6 rpm

الإجابة

n_out = 417,6 rpm

النسبة الكلية = 3,472 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 2,155 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1200/(26000·613592) = 0,03761 rad

φ = 0,03761·180/π = 2,155°

الإجابة

φ = 2,155°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 24,29 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

d_τ = ∛(16·47746/(π·75)) = 14,8 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·47746/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 24,29 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(14,8, 24,29) = 24,29 mm

الإجابة

d = 24,29 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 72,11 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((60 − −20)/2)² + −60²) = 72,11 MPa

الإجابة

τ_max = 72,11 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 29,17 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0,5·400/6 = 33,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16,67 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 16,67·sin²30° + 33,33·cos²30° = 29,17 MPa

الإجابة

σ_n = 29,17 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 3197 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 45·1000/201,1 = 223,8 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 223,8/70000 = 0,003197 = 3197 µε

الإجابة

ε = 3197 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 40,51 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 70000·1257/300 = 293215 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 100000·293215/575959 = 50909 N

الإجهاد

σ₂ = 50909/1257 = 40,51 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 40,51 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 131,6 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1000² = 131595 N = 131,6 kN

الإجابة

P_cr = 131,6 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 49,35 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12,5 = 200

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

الإجابة

σ_cr = 49,35 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05003

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/1)·ln(50/36,5) = 0,3147

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3147/√(39,48 + 0,09904) = 0,05003

الإجابة

ζ = 0,05003

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 7,958 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 15 = 25 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(25000/10) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7,958 Hz

الإجابة

f_n = 7,958 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design