تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 16 سنًّا وموديول 2 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 3 kWn = 2900 rpmN₁ = 16m = 2 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 1440 rpm وبكرة قطرها 500 mm؛ والمسافة بين المركزين 600 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 600 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 500 mmC = 600 mmμ = 0,3T₁ = 600 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر ينقل 75 kW بسرعة 1000 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,75° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 39 GPa

d = mm

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 60 MPa و σᵧ = 10 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 85 MPa؟

σ_x = 60 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 85 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −60 MPa و σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −60 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 60 mm والطول 200 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,25 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø60 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 80 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 15 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 15 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد دورة واحدة قمةٌ مقدارها 8,8 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₁ = 8,8 mmn = 1

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 20 kg معلّقة بالنابض k₃ = 15 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 50 kN/m و k₂ = 15 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 20 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 15 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 617,4 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 3000/303,7 = 9,879 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 2·16 = 32 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·9,879/0,032 = 617,4 N

الإجابة

F_t = 617,4 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 3,887 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,567 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,7701 = 2,16, T₂ = 600/2,16 = 277,8 N

القدرة

P = (600 − 277,8)·12,06 = 3,887 kW

الإجابة

P = 3,887 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 9,119 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(80000·15708) = 0,1592 rad

φ = 0,1592·180/π = 9,119°

الإجابة

φ = 9,119°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 61,48 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 716,2 N·m = 716197 N·mm

d_τ = ∛(16·716197/(π·60)) = 39,32 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·716197/(π·39000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 61,48 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(39,32, 61,48) = 61,48 mm

الإجابة

d = 61,48 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 43,3 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (60 + 10)/2 = 35 MPa

R = σ₁ − C = 85 − 35 = 50 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 25²) = 43,3 MPa

الإجابة

τ_xy = 43,3 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −3,886 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 15 + −75·0,766 + 60·0,6428 = −3,886 MPa

الإجابة

σ_θ = −3,886 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 80,78 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·2827) = 7,074 × 10⁻⁷ mm/N

الحمل

P = 0,25/3,095 × 10⁻⁶ = 80784 N = 80,78 kN

الإجابة

P = 80,78 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 488 kN

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·4006 = 7,32 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (النحاس)

أكبر حمل

P_max = 0,0006667·7,32 × 10⁸ = 487994 N = 488 kN

الإجابة

P_max = 488 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 34,88 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN

الإجابة

P_cr = 34,88 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 30,55 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 30,55 mm

الإجابة

d = 30,55 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 196,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,02034

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/1)·ln(10/8,8) = 0,1278

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,1278/√(39,48 + 0,01634) = 0,02034

الإجابة

ζ = 0,02034

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 3,929 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 50 + 15 = 65 kN/m

k_eq = 65·15/(65 + 15) = 12,19 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(12188/20) = 24,69 rad/s

f_n = 24,69/(2π) = 3,929 Hz

الإجابة

f_n = 3,929 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design