تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 4 kW يعمل بسرعة 1450 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 24 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 40 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 24N₂ = 40η = 100%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قطرها 80 mm وبكرة قطرها 300 mm والمسافة بين مركزيهما 500 mm. أوجد زاوية الالتفاف θ على البكرة الأصغر بالدرجات.

d₁ = 80 mmd₂ = 300 mmC = 500 mm

θ = °

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 10 kW عند 750 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 10 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 40 MPa و σᵧ = −40 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 60 MPa؟

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −20 MPa و σᵧ = −30 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 30 mm والطول 400 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 115 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 90 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 90 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg على نابض جساءته 5 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 10 kgk = 5 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 15 kN/m و k₂ = 60 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 60 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 26,34 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151,8 = 26,34 N·m

الإجابة

T₁ = 26,34 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: θ = 154,6 °

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية السير

asin(0,22) = 12,71°

زاوية الالتفاف

θ = 180 − 2·12,71 = 154,6°

الإجابة

θ = 154,6°

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,801 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·800/(80000·79522) = 0,03144 rad

φ = 0,03144·180/π = 1,801°

الإجابة

φ = 1,801°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 13,33 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·20/190984 = 13,33 MPa

الإجابة

τ_max = 13,33 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 44,72 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (40 + (−40))/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 0 = 60 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(60² − 40²) = 44,72 MPa

الإجابة

τ_xy = 44,72 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −53,48 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = −25 + 5·−0,5 + −30·0,866 = −53,48 MPa

الإجابة

σ_θ = −53,48 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 34,13 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490,9) = 4,074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706,9) = 4,716 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/8,79 × 10⁻⁶ = 34129 N = 34,13 kN

الإجابة

P = 34,13 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 366,1 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 234,3 MPa

σ₂ = 366,1 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 366,1 MPa

الإجابة

σ_max = 366,1 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 16,82 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·3000 = 6000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16,82 kN

الإجابة

P_cr = 16,82 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 70,77 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 70,77 mm

الإجابة

d = 70,77 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 169,6، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 3,334 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(5000/10) = 22,36 rad/s

f_n = 22,36/(2π) = 3,559 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3,559·√(1 − 0,35²) = 3,334 Hz

الإجابة

f_d = 3,334 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 6,164 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 60 = 75 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(75000/50) = 38,73 rad/s

f_n = 38,73/(2π) = 6,164 Hz

الإجابة

f_n = 6,164 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design