تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

تدير بكرة قطرها 100 mm تدور بسرعة 2880 rpm بكرةً قطرها 315 mm بسير انزلاقه 4 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n₂.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 100 mmd₂ = 315 mms = 4 %

n₂ = rpm

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 160 mm تدور بسرعة 1440 rpm وبكرة قطرها 315 mm؛ والمسافة بين المركزين 1000 mm. معامل الاحتكاك 0,25 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 600 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0,25T₁ = 600 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 40 mm وطوله 3 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 1 m. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 250 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 1 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 20 kW عند 1500 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 20 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 60 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 40 mm والطول 200 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø40 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 15 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 15 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 50 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 1,1 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 50 mmx₄ = 1,1 mmn = 4

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 10 kN/m والسفلي k₂ = 80 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n₂ = 877,7 rpm

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

السرعة من دون انزلاق

2880·100/315 = 914,3 rpm

مع الانزلاق

n₂ = 914,3·0,96 = 877,7 rpm

الإجابة

n₂ = 877,7 rpm

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 3,808 kW

زاوية الالتفاف

θ = 2,986 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,7466 = 2,11, T₂ = 600/2,11 = 284,4 N

القدرة

P = (600 − 284,4)·12,06 = 3,808 kW

الإجابة

P = 3,808 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 47,16 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

الإجهاد في كل جزء

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·40³) = 19,89 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

الإجابة

τ_max = 47,16 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 14,82 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·20/171806 = 14,82 MPa

الإجابة

τ_max = 14,82 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −31,72 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 60 − 40) = −63,43°

الزاوية على العنصر

θ_p = −31,72°

الإجابة

θ_p = −31,72°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −1,686 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 15 + −5·0,766 + −20·0,6428 = −1,686 MPa

الإجابة

σ_θ = −1,686 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 53,86 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·1257) = 1,326 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,2/3,714 × 10⁻⁶ = 53856 N = 53,86 kN

الإجابة

P = 53,86 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 449 kN

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·5890 = 7,697 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0005833) = 0,0005833 (النحاس)

أكبر حمل

P_max = 0,0005833·7,697 × 10⁸ = 448986 N = 449 kN

الإجابة

P_max = 449 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 70,32 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2500 = 2500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2500² = 70322 N = 70,32 kN

الإجابة

P_cr = 70,32 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 36,26 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·15000 = 37500 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 36,26 mm

الإجابة

d = 36,26 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 137,9، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1501

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(50/1,1) = 0,9542

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,9542/√(39,48 + 0,9105) = 0,1501

الإجابة

ζ = 0,1501

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 2,373 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/80 → k_eq = 10·80/(10 + 80) = 8,889 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(8889/40) = 14,91 rad/s

f_n = 14,91/(2π) = 2,373 Hz

الإجابة

f_n = 2,373 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design