تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 11 kW يعمل بسرعة 1440 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 15 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 18 سنًّا. أهمل الفواقد. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 11 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 15N₂ = 18η = 100%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (40 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 3000 rpm الترسَ B (48 سنًّا). الترس C (15 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (25 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 3000 rpmA = 40B = 48C = 15D = 25

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 30 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند B على بعد 2,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 1000 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 2,5 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 30 mmT_B = 250 N·mT_C = 1000 N·mAB = 2,5 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 30 MPa و σᵧ = −20 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 70 MPa؟

σ_x = 30 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 70 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 30 mm يحمل قوة ضغط محورية مقدارها 200 kN مع عزم التواء 400 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 30 mmF = −200 kNT = 400 N·m

σ₁ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 100 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 65 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 12 kg على نابض جساءته 12 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,45. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 12 kgk = 12 kN/mζ = 0,45

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 40 kg معلّقة بالنابض k₃ = 5 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 30 kN/m و k₂ = 60 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 40 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 72,95 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1440/60 = 150,8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/150,8 = 72,95 N·m

الإجابة

T₁ = 72,95 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 1500 rpm

المرحلة الأولى

n_B = 3000·40/48 = 2500 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2500·15/25 = 1500 rpm

الإجابة

n_out = 1500 rpm

النسبة الكلية = 2 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 14,37 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·1000/(26000·38350) = 0,2507 rad

φ = 0,2507·180/π = 14,37°

الإجابة

φ = 14,37°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 188,6 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 250 = 750 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 1000 N·m

τ_max = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188,6 MPa

الإجابة

τ_max = 188,6 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 60 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (30 + (−20))/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 70 − 5 = 65 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 25²) = 60 MPa

الإجابة

τ_xy = 60 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 18,86 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = −200000/(π·30²/4) = −200000/706,9 = −282,9 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = −141,5 MPa

R = √((−141,5)² + 75,45²) = 160,3 MPa

σ₁ = C + R = 18,86 MPa

σ₂ = C − R = −301,8 MPa

الإجابة

σ₁ = 18,86 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,019 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/100000 = 0,002037 = 2037 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,002037·500 mm = 1,019 mm

الإجابة

δ = 1,019 mm

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 7,734 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 132,4·1500/100000 = 1,986 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·1000/100000 = 5,747 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 7,734 mm

الإجابة

δ = 7,734 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 77,24 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

الإجابة

P_cr = 77,24 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 11,05 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2500 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

الإجابة

σ_cr = 11,05 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 4,495 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(12000/12) = 31,62 rad/s

f_n = 31,62/(2π) = 5,033 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 5,033·√(1 − 0,45²) = 4,495 Hz

الإجابة

f_d = 4,495 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 1,732 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·5/(90 + 5) = 4,737 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(4737/40) = 10,88 rad/s

f_n = 10,88/(2π) = 1,732 Hz

الإجابة

f_n = 1,732 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design