تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرّك قدرته 1,1 kW يعمل بسرعة 2900 rpm يدير ترسًا صغيرًا له 18 سنًّا وموديول 2,5 mm. أوجد القوة المماسية F_t على أسنان الترس الصغير.

P = 1,1 kWn = 2900 rpmN₁ = 18m = 2,5 mm

F_t = N

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

يصل سير مفتوح بين بكرة قائدة قطرها 80 mm تدور بسرعة 960 rpm وبكرة قطرها 315 mm؛ والمسافة بين المركزين 1200 mm. معامل الاحتكاك 0,3 ولا يجوز أن يتجاوز الشد في الجانب المشدود 2000 N. أوجد أكبر قدرة P يستطيع السير نقلها دون انزلاق، بوحدة kW (أهمل أثر القوة الطاردة المركزية).

d₁ = 80 mmn₁ = 960 rpmd₂ = 315 mmC = 1200 mmμ = 0,3T₁ = 2000 N

P = kW

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 12 mm بعزم 30 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 200 mm بزاوية 6,49° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 30 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 6,49°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 30 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند B على بعد 1,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 400 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 1 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 400 N·mAB = 1,5 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −10 MPa و σᵧ = 0 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 20 MPa؟

σ_x = −10 MPaσ_y = 0 MPaσ₁ = 20 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 80 MPa و σᵧ = −30 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° باتجاه عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 60 kNالجزء 1: Ø40 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 95 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 95 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 10 kg يحملها نابض جساءته 80 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 180 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 10 kgk = 80 kN/mc = 180 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بالنابض k₃ = 80 kN/m. الطرف العلوي لـ k₃ مثبَّت بقضيب صلب معلّق بنابضين متجاورين، k₁ = 50 kN/m و k₂ = 50 kN/m؛ ويبقى القضيب أفقيًا. أهمل التخميد وكتل النوابض والقضيب. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 50 kN/mk₃ = 80 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: F_t = 161 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العزم على الترس الصغير

ω = 2π·2900/60 = 303,7 rad/s

T = P/ω = 1100/303,7 = 3,622 N·m

قطر الخطوة

d = m·N = 2,5·18 = 45 mm

القوة المماسية

F_t = 2T/d = 2·3,622/0,045 = 161 N

الإجابة

F_t = 161 N

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 4,719 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

زاوية الالتفاف

θ = 2,945 rad

الشد في الجانب المرتخي

e^μθ = e^0,8836 = 2,42, T₂ = 2000/2,42 = 826,6 N

القدرة

P = (2000 − 826,6)·4,021 = 4,719 kW

الإجابة

P = 4,719 kW

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 26,02 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 6,49·π/180 = 0,1133 rad

معامل القص

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·200/(2036·0,1133) = 26020 MPa

G = 26,02 GPa

الإجابة

G = 26,02 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 7,655 °

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C − T_B = 400 − 100 = 300 N·m

التواء كل جزء

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 300000·1500/(80000·79522) = 0,07074 rad

φ_BC = 400000·1000/(80000·79522) = 0,06288 rad

التواء الطرف C

φ_C = 0,07074 + 0,06288 = 0,1336 rad → |φ_C| = 7,655°

الإجابة

φ_C = 7,655°

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 24,49 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (−10 + 0)/2 = −5 MPa

R = σ₁ − C = 20 − (−5) = 25 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 5²) = 24,49 MPa

الإجابة

τ_xy = 24,49 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 12,37 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −55·−0,6428 + −30·0,766 = 12,37 MPa

الإجابة

τ_θ = 12,37 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 53,04 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490,9) = 6,112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,5/9,427 × 10⁻⁶ = 53038 N = 53,04 kN

الإجابة

P = 53,04 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 530,5 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 47,75 MPa

σ₂ = 530,5 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 530,5 MPa

الإجابة

σ_max = 530,5 MPa

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 17,58 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/5000² = 17581 N = 17,58 kN

الإجابة

P_cr = 17,58 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 71,73 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 71,73 mm

الإجابة

d = 71,73 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 167,3، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,1006

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(80000·10) = 1789 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 180/1789 = 0,1006

الإجابة

ζ = 0,1006

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 10,61 Hz

الجساءة المكافئة

k₁ و k₂ فقط على التوازي. هذا الزوج على التوالي مع k₃، لذا ادمجهما بالمقلوبات.

k₁₂ = 50 + 50 = 100 kN/m

k_eq = 100·80/(100 + 80) = 44,44 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(44444/10) = 66,67 rad/s

f_n = 66,67/(2π) = 10,61 Hz

الإجابة

f_n = 10,61 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design