تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

عمودان متوازيان المسافة بينهما 180 mm. يجب وصلهما بزوج من التروس المستقيمة بموديول 2,5 mm وتخفيض سرعة 5 : 1. كم سنًّا N₁ يجب أن يكون للترس الصغير؟

a = 180 mmm = 2,5 mmi = 5

N₁ =

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس كوكبية للترس الشمسي 12 سنًّا ولكل ترس كوكبي 20 سنًّا. الترس الحلقي مثبَّت والترس الشمسي يُدار بسرعة 900 rpm. أوجد سرعة الحامل الكوكبي n_c.

N_s = 12N_p = 20n_s = 900 rpm

n_c = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 20 kW عند 750 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 160 MPa و σᵧ = −70 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 160 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −50 MPa و σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −50 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 50 mm والطول 300 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 60 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 50 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 25 kg يحملها نابض جساءته 100 kN/m ومخمِّد لزج معامل تخميده 160 N·s/m. أوجد نسبة التخميد ζ.

m = 25 kgk = 100 kN/mc = 160 N·s/m

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 10 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 80 kN/m والسفلي k₂ = 12 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي f_n للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.

m = 10 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N₁ = 24

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

العدد الكلي للأسنان

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/2,5 = 144

قسّم وفق النسبة

N₁ = 144/(1 + 5) = 24

الإجابة

N₁ = 24

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_c = 168,8 rpm

مجموعات التروس الكوكبية: ترتبط سرعات الشمس والحلقة والحامل بمعادلة ويليس (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s: من منظور الحامل، المجموعة مجموعة تروس عادية والكواكب تروس وسيطة. تثبيت أحد العناصر يحوّل المجموعة إلى مخفّض بنسبة واحدة.

أسنان الترس الحلقي

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·20 = 52

معادلة ويليس مع تثبيت الحلقة

اجعل n_r = 0 وحلّ لإيجاد سرعة الحامل.

(900 − n_c)/(0 − n_c) = −52/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 900·12/64 = 168,8 rpm

الإجابة

n_c = 168,8 rpm

يدور الحامل في اتجاه الشمس نفسه.

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 10,94 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(80000·15708) = 0,191 rad

φ = 0,191·180/π = 10,94°

الإجابة

φ = 10,94°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 6,898 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·30/1,107 × 10⁶ = 6,898 MPa

الإجابة

τ_max = 6,898 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 125,4 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((160 − −70)/2)² + −50²) = 125,4 MPa

الإجابة

τ_max = 125,4 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −10 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = −50 + 0·0 + 40·1 = −10 MPa

الإجابة

σ_θ = −10 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 25,57 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1963) = 2,183 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/1,173 × 10⁻⁵ = 25571 N = 25,57 kN

الإجابة

P = 25,57 kN

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 11,15 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 298,4 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122,2·1500/70000 = 2,619 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 298,4·2000/70000 = 8,526 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 11,15 mm

الإجابة

δ = 11,15 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,559 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·20³/12 = 33333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·3000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·33333/3000² = 2559 N = 2,559 kN

الإجابة

P_cr = 2,559 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 77,11 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

الإجابة

σ_cr = 77,11 MPa

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,0506

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التخميد الحرج

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(100000·25) = 3162 N·s/m

نسبة التخميد

ζ = c/c_c = 160/3162 = 0,0506

الإجابة

ζ = 0,0506

ζ < 1، لذا النظام تحت المخمَّد ويهتزّ وهو يضمحلّ.

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_n = 5,141 Hz

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/80 + 1/12 → k_eq = 80·12/(80 + 12) = 10,43 kN/m

التردد الطبيعي

ω_n = √(10435/10) = 32,3 rad/s

f_n = 32,3/(2π) = 5,141 Hz

الإجابة

f_n = 5,141 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design