تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

محرك قدرته 3 kW يعمل بسرعة 1500 rpm يدير ترسًا صغيرًا (بنيون) له 45 سنًّا، يتعشّق مع ترس له 80 سنًّا. كفاءة زوج التروس 97%. أوجد العزم T₁ على عمود المحرك.

P = 3 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 45N₂ = 80η = 97%

T₁ = N·m

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدور الترس A (15 سنًّا) على عمود الدخل بسرعة 2880 rpm ويدير الترس B (50 سنًّا). الترس C (16 سنًّا) مثبَّت على عمود B نفسه ويدير الترس D على عمود الخرج. يجب أن يدور الخرج بسرعة 460,8 rpm. كم سنًّا N_D يجب أن يكون للترس D؟

n_in = 2880 rpmA = 15B = 50C = 16n_out = 460,8 rpm

N_D =

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الفولاذ (قطره الخارجي 75 mm، وقطره الداخلي 56 mm، وطوله 1,2 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 2000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 20 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 750 N·m عند C، على بعد 1,2 m من A و 1 m من B. أوجد عزم ردّ الفعل T_A عند الجدار A.

d = 20 mmT₀ = 750 N·ma = 1,2 mb = 1 m

T_A = N·m

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 130 MPa و σᵧ = −10 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 140 MPa؟

σ_x = 130 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 140 MPa

τ_xy = MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 20 MPa و σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 50 kNd = 10 mmL = 1 mE = 70 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 95 kNالجزء 1: Ø30 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 0,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 100 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 100 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

كتلة 2 kg على نابض جساءته 50 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,35. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد f_d لاهتزازها الحر بالـ Hz.

m = 2 kgk = 50 kN/mζ = 0,35

f_d = Hz

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 50 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 10 kN/m والسفلي k₂ = 100 kN/m. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 50 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 100 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: T₁ = 19,1 N·m

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

عزم المحرك

ω₁ = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 3000/157,1 = 19,1 N·m

الإجابة

T₁ = 19,1 N·m

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: N_D = 30

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

سرعة العمود الوسيط

n_B = n_C = 2880·15/50 = 864 rpm

أسنان الترس D

N_D = C·n_C/n_out = 16·864/460,8 = 30

الإجابة

N_D = 30

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,8029 °

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

زاوية الالتواء

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(80000·2,141 × 10⁶) = 0,01401 rad

φ = 0,01401·180/π = 0,8029°

الإجابة

φ = 0,8029°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: T_A = 340,9 N·m

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·1/2,2 = 340,9 N·m

T_B = 750·1,2/2,2 = 409,1 N·m

الإجابة

T_A = 340,9 N·m

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 38,73 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (130 + (−10))/2 = 60 MPa

R = σ₁ − C = 140 − 60 = 80 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(80² − 70²) = 38,73 MPa

الإجابة

τ_xy = 38,73 MPa

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 38,13 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 70 + −50·0,766 + 10·0,6428 = 38,13 MPa

الإجابة

σ_θ = 38,13 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 9095 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 50·1000/78,54 = 636,6 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 636,6/70000 = 0,009095 = 9095 µε

الإجابة

ε = 9095 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,536 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 134,4 MPa

σ₂ = 840 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134,4·500/200000 = 0,336 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·500/100000 = 4,2 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,536 mm

الإجابة

δ = 4,536 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 186,5 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1050² = 186500 N = 186,5 kN

الإجابة

P_cr = 186,5 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 69,42 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N

KL = 1·3000 = 3000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 69,42 mm

الإجابة

d = 69,42 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 172,9، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: f_d = 23,57 Hz

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التردد الطبيعي غير المخمَّد

ω_n = √(50000/2) = 158,1 rad/s

f_n = 158,1/(2π) = 25,16 Hz

التردد الطبيعي المخمَّد

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 25,16·√(1 − 0,35²) = 23,57 Hz

الإجابة

f_d = 23,57 Hz

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 9,091 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/10 + 1/100 → k_eq = 10·100/(10 + 100) = 9,091 kN/m

الإجابة

k_eq = 9,091 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design