تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التروس ومجموعات التروس

تروس متعشّقة: n₁·N₁ = n₂·N₂
العزم: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
القدرة: P = T·ω, ω = 2π·n/60
مجموعة تروس مركّبة: النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

الاهتزازات الميكانيكية

التردد الطبيعي: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
من الانحراف الاستاتيكي: ω_n = √(g/δ_st)
التخميد الحرج: c_c = 2√(km) = 2mω_n
نسبة التخميد: ζ = c/c_c
التردد المخمَّد: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
التناقص اللوغاريتمي: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
نوابض على التوازي: k = k₁ + k₂
نوابض على التوالي: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2مسائل تدريبية

1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة

يمر سير على بكرة قائدة قطرها 125 mm تدور بسرعة 2880 rpm. الشد 1200 N في الجانب المشدود و300 N في الجانب المرتخي. أوجد القدرة P المنقولة بوحدة kW.

d₁ = 125 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 1200 NT₂ = 300 N

P = kW

2.التروس ومجموعات التروسصعبة

في مجموعة تروس مركّبة، يدير الترس A (32 سنًّا) المثبّت على عمود الدخل الدائر بسرعة 3000 rpm الترسَ B (40 سنًّا). الترس C (18 سنًّا) مثبّت على عمود B نفسه ويدير الترس D (60 سنًّا) على عمود الخرج. أوجد سرعة الخرج n_out.

n_in = 3000 rpmA = 32B = 40C = 18D = 60

n_out = rpm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الفولاذ (قطره الخارجي 60 mm، وقطره الداخلي 42 mm، وطوله 1,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 1000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 1000 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 10 kW عند 750 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 10 kWN = 750 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −70 MPa، σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = −70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 160 MPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 120 GPa والإجهاد المسموح 50 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 130 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 130 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة

في اختبار اهتزاز حر لنظام كتلة–نابض مخمَّد، تلي قمةَ إزاحة مقدارها 10 mm بعد 4 دورات قمةٌ مقدارها 2,8 mm. أوجد نسبة التخميد ζ.

x₀ = 10 mmx₄ = 2,8 mmn = 4

ζ =

12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة

كتلة 100 kg معلّقة بنابضين متجاورين (على التوازي)، جساءتاهما k₁ = 15 kN/m و k₂ = 20 kN/m. تبقى الكتلة أفقية. أوجد الجساءة المكافئة k_eq لنظام النوابض بالـ kN/m.

m = 100 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 20 kN/m

k_eq = kN/m

3المحاليل

1.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: P = 16,96 kW

نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = e^μθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.

سرعة السير

v = 18,85 m/s

القدرة

P = (1200 − 300)·18,85 = 16965 W = 16,96 kW

الإجابة

P = 16,96 kW

2.التروس ومجموعات التروس

الإجابة: n_out = 720 rpm

مجموعات التروس: للتروس المتعشّقة السرعة نفسها عند الأسنان، لذا n₁·N₁ = n₂·N₂: الترس ذو الأسنان الأقل يدور أسرع. التروس المثبّتة على عمود واحد تدور بالسرعة نفسها. تُنقل القدرة (مطروحًا منها الفواقد)، لذا يرتفع العزم عندما تنخفض السرعة: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η، و P = T·ω حيث ω = 2π·n/60.

المرحلة الأولى

n_B = 3000·32/40 = 2400 rpm = n_C

المرحلة الثانية

n_out = 2400·18/60 = 720 rpm

الإجابة

n_out = 720 rpm

النسبة الكلية = 4,167 : 1

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,111 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

زاوية الالتواء

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1,5 m = 1500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(80000·966855) = 0,01939 rad

φ = 0,01939·180/π = 1,111°

الإجابة

φ = 1,111°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,449 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 127324·30/1,107 × 10⁶ = 3,449 MPa

الإجابة

τ_max = 3,449 MPa

5.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = 51,26 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = −20/92,2 = −0,2169, sin 2θ_s = −(−90)/92,2 = 0,9762

2θ_s = atan2(90, −20) = 102,5°

الزاوية على العنصر

θ_s = 51,26°

تحقّق: θ_s − θ_p = 51,26 − (−83,74) = 135°

الإجابة

θ_s = 51,26°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

6.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −3,349 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −−25·0,866 + 50·−0,5 = −3,349 MPa

الإجابة

τ_θ = −3,349 MPa

7.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 1751 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 55·1000/314,2 = 175,1 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 175,1/100000 = 0,001751 = 1751 µε

الإجابة

ε = 1751 µε

8.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 335,4 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·5890 = 8,05 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0008, 0,0004167) = 0,0004167 (النحاس)

أكبر حمل

P_max = 0,0004167·8,05 × 10⁸ = 335430 N = 335,4 kN

الإجابة

P_max = 335,4 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 197,4 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1500² = 197392 N = 197,4 kN

الإجابة

P_cr = 197,4 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 78,69 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,69 mm

الإجابة

d = 78,69 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 101,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

11.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: ζ = 0,05058

الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ω_n = √(k/m) بالـ rad/s، و f_n = ω_n/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/c_c، مع التخميد الحرج c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ω_d = ω_n·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

التناقص اللوغاريتمي

δ = (1/4)·ln(10/2,8) = 0,3182

نسبة التخميد

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0,3182/√(39,48 + 0,1013) = 0,05058

الإجابة

ζ = 0,05058

12.الاهتزازات الميكانيكية

الإجابة: k_eq = 35 kN/m

الجساءة المكافئة

النوابض المتجاورة تتشارك الانحراف وتُجمع قواها، لذا تُجمع جساءاتها مباشرة: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 20 = 35 kN/m

الإجابة

k_eq = 35 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design