التروس ومجموعات التروس
- تروس متعشّقة
- n1·N1 = n2·N2
- العزم
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- القدرة
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- مجموعة تروس مركّبة
- النسبة الكلية = حاصل ضرب نسب المراحل
تصميم الآلات: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
الاهتزازات الميكانيكية
- التردد الطبيعي
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- من الانحراف الاستاتيكي
- ωn = √(g/δst)
- التخميد الحرج
- cc = 2√(km) = 2mωn
- نسبة التخميد
- ζ = c/cc
- التردد المخمَّد
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- التناقص اللوغاريتمي
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- نوابض على التوازي
- k = k1 + k2
- نوابض على التوالي
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2مسائل تدريبية
1.التروس ومجموعات التروسمتوسطة
تدير بكرة قطرها 80 mm تدور بسرعة 720 rpm بكرةً قطرها 200 mm بسير انزلاقه 2,5 %. أوجد سرعة البكرة المقودة n2.
n1 = 720 rpmd1 = 80 mmd2 = 200 mms = 2,5 %
n2 = rpm
2.التروس ومجموعات التروسصعبة
محرّك قدرته 5,5 kW بسرعة 960 rpm يدير الترس A (12 سنًّا)، الذي يتعشّق مع الترس B (25 سنًّا). الترس C (16 سنًّا) على عمود B نفسه يدير الترس D (36 سنًّا) على عمود الخرج. كفاءة كل تعشيق 95%. أوجد عزم الخرج Tout.
P = 5,5 kWnin = 960 rpmA = 12B = 25C = 16D = 36ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 250 N·md = 50 mmL = 1,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الألومنيوم قطره 20 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند C، على بعد 3 m من A و 1,2 m من B. أوجد عزم ردّ الفعل TA عند الجدار A.
d = 20 mmT0 = 100 N·ma = 3 mb = 1,2 m
TA = N·m
5.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
عند نقطة σₓ = −70 MPa، σᵧ = −10 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 40° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σy′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.
σx = −70 MPaσy = −10 MPaτxy = −10 MPaθ = 40°
σy′ = MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 110 MPa، σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). إجهاد خضوع المادة 300 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار تريسكا (أقصى إجهاد قص).
σx = 110 MPaσy = 20 MPaτxy = −10 MPaσY = 300 MPa
n =
7.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 70 GPa). طول كل منهما 600 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 150 kN. أوجد الانضغاط δ.
P = 150 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 600 mm
δ = mm
8.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
P = 35 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm
σcr = MPa
11.الاهتزازات الميكانيكيةمتوسطة
كتلة 25 kg على نابض جساءته 200 kN/m لها مخمِّد لزج يعطي نسبة تخميد 0,45. أوجد التردد الطبيعي المخمَّد fd لاهتزازها الحر بالـ Hz.
m = 25 kgk = 200 kN/mζ = 0,45
fd = Hz
12.الاهتزازات الميكانيكيةصعبة
كتلة 5 kg معلّقة بنابضين موصولين طرفًا بطرف (على التوالي): النابض العلوي k₁ = 100 kN/m والسفلي k₂ = 50 kN/m. أهمل التخميد وكتل النوابض. أوجد التردد الطبيعي fn للاهتزاز الرأسي بالـ Hz.
m = 5 kgk1 = 100 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3المحاليل
1.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: n2 = 280,8 rpm
نقل الحركة بالسيور: من دون انزلاق يكون لبكرتين سرعة الحافة نفسها v = π·d·n/60، إذن n₁·d₁ = n₂·d₂ ونسبة السرعة d₂/d₁. يجعل الانزلاق s البكرة المقودة أبطأ قليلًا: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). والقدرة المنقولة P = (T₁ − T₂)·v، حيث T₁ الشد في الجانب المشدود وT₂ في الجانب المرتخي. يحدّ الاحتكاك نسبة الشدّين: T₁/T₂ = eμθ، حيث θ زاوية التفاف السير بالراديان على البكرة الأصغر؛ ولسير مفتوح θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C)) حيث C المسافة بين المركزين.
السرعة من دون انزلاق
720·80/200 = 288 rpm
مع الانزلاق
n2 = 288·0,975 = 280,8 rpm
الإجابة
n2 = 280,8 rpm
2.التروس ومجموعات التروس
الإجابة: Tout = 231,4 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
سرعة الخرج
nout = 960·(12/25)·(16/36) = 204,8 rpm
ωout = 2π·204,8/60 = 21,45 rad/s
قدرة الخرج والعزم
Pout = 5500·0,95² = 4964 W
Tout = Pout/ωout = 4964/21,45 = 231,4 N·m
الإجابة
Tout = 231,4 N·m
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 1,347 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1500/(26000·613592) = 0,02351 rad
φ = 0,02351·180/π = 1,347°
الإجابة
φ = 1,347°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: TA = 28,57 N·m
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده TA + TB = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).
الاتزان والتوافق
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·1,2/4,2 = 28,57 N·m
TB = 100·3/4,2 = 71,43 N·m
الإجابة
TA = 28,57 N·m
5.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σy′ = −24,94 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل للوجه y′
σy′ = −40 − (−30)·0,1736 − (−10)·0,9848 = −24,94 MPa
تحقّق
مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.
σx′ = −55,06 MPa, σx′ + σy′ = −80 = σx + σy
الإجابة
σy′ = −24,94 MPa
6.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: n = 2,7
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σY؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σY/2.
الإجهادات الرئيسية
C = 65 MPa, R = 46,1 MPa
σ1 = 111,1 MPa, σ2 = 18,9 MPa, σ3 = 0
تريسكا
σmax − σmin = 111,1 MPa
n = 300/111,1 = 2,7
الإجابة
n = 2,7
n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.
7.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 0,1763 mm
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²
الصلابة المحورية المشتركة
ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·5890 = 5,105 × 10⁸ N
الانضغاط
δ = 150000·600/5,105 × 10⁸ = 0,1763 mm
الإجابة
δ = 0,1763 mm
8.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σmax = 111,4 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
القوة نفسها في الجزأين
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 71,3 MPa
σ2 = 111,4 MPa
أكبر إجهاد
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
σmax = 111,4 MPa
الإجابة
σmax = 111,4 MPa
9.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 47,74 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/1050² = 47744 N = 47,74 kN
الإجابة
Pcr = 47,74 kN
10.انبعاج الأعمدة
الإجابة: σcr = 49,35 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
نصف قطر الدوران والنحافة
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·2500 = 1250 mm
KL/r = 1250/6,25 = 200
الإجهاد الحرج
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa
الإجابة
σcr = 49,35 MPa
11.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fd = 12,71 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
التردد الطبيعي غير المخمَّد
ωn = √(200000/25) = 89,44 rad/s
fn = 89,44/(2π) = 14,24 Hz
التردد الطبيعي المخمَّد
fd = fn·√(1 − ζ²) = 14,24·√(1 − 0,45²) = 12,71 Hz
الإجابة
fd = 12,71 Hz
12.الاهتزازات الميكانيكية
الإجابة: fn = 12,99 Hz
الاهتزاز الحر لنظام كتلة–نابض: التردد الطبيعي غير المخمَّد ωn = √(k/m) بالـ rad/s، و fn = ωn/(2π) بالـ Hz. المخمِّد اللزج c يعطي نسبة التخميد ζ = c/cc، مع التخميد الحرج cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn. النظام تحت المخمَّد (ζ < 1) يهتزّ عند ωd = ωn·√(1 − ζ²). النوابض على التوازي تُجمع، k = k₁ + k₂؛ والنوابض على التوالي تُجمع مقلوباتها، 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
الجساءة المكافئة
النوابض على التوالي تتشارك القوة نفسها وتُجمع انحرافاتها، لذا تُدمج بمقلوباتها: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/100 + 1/50 → keq = 100·50/(100 + 50) = 33,33 kN/m
التردد الطبيعي
ωn = √(33333/5) = 81,65 rad/s
fn = 81,65/(2π) = 12,99 Hz
الإجابة
fn = 12,99 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design