القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

جهود المجزّئات: V_a = V_sR₂/(R₁ + R₂), V_b = V_sR₄/(R₃ + R₄)
المخرَج: V_ab = V_a − V_b
التوازن: R₁/R₂ = R₃/R₄
القنطرة ذات السلك المنزلق: R/R_x = l/(100 − l)
مقاومة ثيفنن: R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄
معامل المقياس: ΔR/R = GF·ε
خرج القنطرة: ربع V_s·GF·ε/4، نصف V_s·GF·ε/2، كامل V_s·GF·ε
التغير الصغير، ذراع واحد: V_ab ≈ V_s·ΔR/(4R)
الإجهاد: σ = E·ε

الطريقة

عامل القنطرة على أنها مجزّئا جهد على المصدر نفسه.
للاتزان ضع R₁/R₂ = R₃/R₄ وحُلّ لإيجاد المقاومة المجهولة.
لقنطرة غير متزنة أوجد V_a وV_b من المجزّئين ثم اطرح؛ واستخدم مكافئ تيفينين حين يُحمِّل مقياسٌ الخرج.
لمقاييس الانفعال حوّل الانفعال إلى ΔR/R = GF·ε واستخدم V_s·GF·ε/4 أو /2 أو ×1 لربع القنطرة أو نصفها أو كاملها.

اكتساب البيانات وأخذ العينات

معيار نيكويست: f_s > 2·f_max, f_N = f_s/2
تردد التداخل الطيفي: f_a = |f − k·f_s|, k = round(f/f_s)
حجم الخطوة: 1 LSB = V_FSR/2ᴺ
خطأ التكميم (بالتقريب): ±½ LSB
رمز المحوّل مع البتر: D = ⌊V_in/LSB⌋
عدد البتات لدقة r: 2ᴺ ≥ span/r
نسبة SQNR المثالية لموجة جيبية بمدى كامل: SQNR = 6,02·N + 1,76 dB
معدل البيانات: القنوات × f_s × N بت/ث
محوّل ADC متعدد القنوات: f_s = 1/(n·(t_c + t_set))
UART: T_b = 1/baud؛ 8N1 = 10 بتات لكل بايت؛ بايت/ث = baud/عدد بتات الإطار
مقسّم معدل الباود: baud = f_clk/(16·D)

الطريقة

دوّن المعطيات: معدل أخذ العينات، وترددات الإشارة، وعدد البتات، ومدى الدخل، ومعدل الباود.
في أسئلة أخذ العينات، قارن كل تردد مع f_s/2؛ والتردد الأعلى يظهر عند f_a = |f − k·f_s| حيث يكون k·f_s أقرب مضاعف لـ f_s.
في أسئلة الدقة، أوجد 1 LSB = V_FSR/2ᴺ، أو أصغر N يحقق 2ᴺ ≥ المدى/الدقة.
في معدلات البيانات ووصلات UART، احسب كل ما يُرسل: القنوات، والعينات في الثانية، والبتات أو البايتات الكاملة لكل عينة، وبتات البدء والتكافؤ والإيقاف في كل إطار.

دوائر مكبّرات العمليات

المكبّر العاكس: V_out = −(R_f/R_in)·V_in
المكبّر غير العاكس: V_out = (1 + R_f/R₁)·V_in
المكبّر الجامع: V_out = −R_f(V₁/R₁ + V₂/R₂)
مكبّر العمليات المثالي: V₊ = V₋, I_in = 0

المقاومات على التوالي والتوازي

مقاومات على التوالي: R_eq = R₁ + R₂ + …
مقاومات على التوازي: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
مقاومتان على التوازي: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
قانون أوم: V = I·R
القدرة: P = V·I = I²R = V²/R

الطريقة

ابدأ من طرف الشبكة الأبعد عن الطرفين.
اجمع المقاومات المتوالية بجمعها، والمقاومات المتوازية بـ 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
أعد رسم الدائرة بعد كل خطوة.
كرّر حتى تبقى مقاومة واحدة بين الطرفين.

ثيفنن ونورتن

جهد ثيفنن: V_th = V_{open circuit}
مقاومة ثيفنن: R_th: كل المصادر مُطفأة، منظورًا إليها من a–b
تيار نورتن: I_N = V_th/R_th
تيار الحِمل: I_L = V_th/(R_th + R_L)
أقصى نقل للقدرة: R_L = R_th, P_max = V_th²/(4R_th)

الطريقة

أزل الحِمل وعلّم الطرفين a و b.
أوجد جهد الدائرة المفتوحة بين a و b: هذا هو V_th.
أطفئ كل المصادر المستقلة وأوجد المقاومة المرئية من a–b: هذه هي R_th.
أعد الحِمل إلى الدائرة المكافئة: V_th على التوالي مع R_th.
لمكافئ نورتن، حوّل: I_N = V_th/R_th، مع R_N = R_th على التوازي.

2مسائل تدريبية

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالمتوسطة

لقنطرة أربعة أذرع كل منها 1000 Ω وV_s = 5 V. تزداد مقاومة المستشعر R₂ بمقدار ΔR = 4 Ω. باستخدام تقريب التغير الصغير، أوجد الخرج V_ab بوحدة mV.

V_s = 5 VR = 1000 ΩΔR = 4 Ω

V_ab = mV

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالصعبة

خلية حمل (قنطرة كاملة من مقاييس الانفعال) خرجها المقنّن 3 mV/V عند حملها المقنّن 200 kg. تُثار بـ 12 V. أوجد خرجها V_o تحت حمل 40 kg.

3 mV/VF_rated = 200 kgV_s = 12 VF = 40 kg

V_o = mV

3.اكتساب البيانات وأخذ العيناتمتوسطة

يأخذ مسجّل عينات من 8 قنوات بمعدل 2 kHz لكل منها بمحوّل ADC بـ 12 بت. تُخزَّن كل عينة في عدد صحيح من البايتات. أوجد الذاكرة M اللازمة لتسجيل مدته 30 min، بوحدة MB (1 MB = 10⁶ بايت).

n = 8f_s = 2 kHzN = 12t = 30 min

M = MB

4.اكتساب البيانات وأخذ العيناتصعبة

تؤخذ عينات موجة مربعة 400 Hz بمعدل 2 kHz دون مرشح مضاد للتداخل. تحتوي الموجة المربعة على التوافقيات الفردية 3f₁ و5f₁ و7f₁ وهكذا. عند أي تردد f_a يظهر التوافقي 7f₁ في البيانات المأخوذة؟ أعطه بوحدة Hz.

f₁ = 400 Hzf_s = 2 kHzالتوافقي: 7f₁

f_a = Hz

5.دوائر مكبّرات العملياتمتوسطة

مكبّر العمليات مثالي ويعمل بمصدرين ±15 V. أوجد جهد الخرج V_out.

V_in = −0,5 VR₁ = 47 kΩR_f = 100 kΩ

V_out = V

6.دوائر مكبّرات العملياتصعبة

يستخدم المكبّر الجامع مكبّر عمليات مثاليًا بمصدرين ±15 V. أوجد التيار I_f عبر مقاومة التغذية الراجعة المتّجه نحو الخرج.

V₁ = −1,1 VV₂ = 1 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩR_f = 1 kΩ

I_f = mA

7.المقاومات على التوالي والتوازيمتوسطة

أوجد المقاومة المكافئة R_eq التي يراها المصدر V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 2 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

8.المقاومات على التوالي والتوازيصعبة

أوجد التيار I_R2 عبر R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 8 Ω

I_R2 = A

9.ثيفنن ونورتنمتوسطة

وُصل حِمل R_L = 3 Ω بين a–b. استبدل بقية الدائرة بمكافئ ثيفنن وأوجد تيار الحِمل I_L.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 3 ΩR_L = 3 Ω

I_L = A

10.ثيفنن ونورتنصعبة

وُصل حِمل R_L = 6 Ω بين a–b. استخدم مكافئ ثيفنن لإيجاد القدرة P_L المسلَّمة إلى الحِمل.

V₁ = 30 VI_s = 2,5 AR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 20 ΩR_L = 6 Ω

P_L = W

3المحاليل

1.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: V_ab = 5 mV

قنطرة ويتستون: مجزّئا جهد يتشاركان مصدرًا واحدًا V_s. يعطي المجزّئ الأيسر R₁–R₂ الجهد V_a = V_s·R₂/(R₁ + R₂) ويعطي المجزّئ الأيمن R₃–R₄ الجهد V_b = V_s·R₄/(R₃ + R₄)؛ والخرج هو V_ab = V_a − V_b. تكون القنطرة متزنة (V_ab = 0، ولا تيار في المقياس) حين R₁/R₂ = R₃/R₄، أي R₁·R₄ = R₂·R₃. وإذا نُظر إليها من الخرج فهي مصدر تيفينين بمقاومة R_th = R₁∥R₂ + R₃∥R₄.

التغير النسبي

ΔR/R = 4/1000 = 0,004

الخرج الخطي

V_ab ≈ 5·0,004/4 = 5 mV

الإجابة

V_ab = 5 mV

القيمة الدقيقة 4,99 mV؛ والتقريب جيد ما دام ΔR/R صغيرًا.

2.قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الإجابة: V_o = 7,2 mV

مقاييس الانفعال: تتغير مقاومة المقياس مع الانفعال: ΔR/R = GF·ε، حيث معامل المقياس GF نحو 2 للرقائق المعدنية. في قنطرة تكون فيها كل الأذرع مساوية لـ R، يعطي مقياس فعّال واحد (ربع قنطرة) V_o ≈ V_s·GF·ε/4. ويعطي مقياسان فعّالان بانفعالين متعاكسين في ذراعين متجاورين (نصف قنطرة) V_s·GF·ε/2، وأربعة مقاييس (قنطرة كاملة) تعطي V_s·GF·ε. ويأتي الإجهاد من قانون هوك، σ = E·ε. وتذكر خلايا الحمل حساسيتها بوحدة mV/V: الخرج عند الحمل الكامل لكل فولت من الإثارة.

خرج المدى الكامل

3·12 = 36 mV

الخرج عند هذا الحمل

V_o = 36·40/200 = 7,2 mV

الإجابة

V_o = 7,2 mV

3.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: M = 57,6 MB

معدلات البيانات: تسلّم كل قناة f_s عينة في الثانية، كل منها N بت، فيكون المعدل الخام القنوات × f_s × N bit/s. وفي الذاكرة تشغل العينة عددًا صحيحًا من البايتات (عينة 12 بت تُخزَّن في بايتين)، فتكون الذاكرة اللازمة لتسجيل ما يساوي القنوات × f_s × البايتات لكل عينة × الزمن. يحوّل محوّل ADC متعدد القنوات القنوات واحدة تلو الأخرى: يستغرق كل تحويل (مع زمن الاستقرار) t، فتستغرق جولة n قناة n·t وتُؤخذ عينات كل قناة بمعدل 1/(n·t).

البايتات لكل عينة

⌈12/8⌉ = 2 B

معدل البايتات

8·2000·2 = 32000 B/s

الذاكرة

M = 32000·1800 = 5,76 × 10⁷ B = 57,6 MB

الإجابة

M = 57,6 MB

4.اكتساب البيانات وأخذ العينات

الإجابة: f_a = 800 Hz

أخذ العينات: يقيس محوّل ADC الإشارة f_s مرة في الثانية. وبحسب نظرية نيكويست–شانون لا يُلتقط التردد f بشكل صحيح إلا ما دام f < f_s/2، وهو تردد نيكويست (تردد الانعكاس)، لذا يجب أن يتجاوز معدل أخذ العينات ضعف أعلى تردد في الإشارة. التردد الأعلى لا يضيع: بل يظهر كـتردد مستعار عند f_a = |f − k·f_s|، حيث k العدد الصحيح الذي يجعل النتيجة بين 0 وf_s/2. لا تستطيع العينات التمييز بين الاثنين، لذا يجب أن يزيل مرشح تماثلي مضاد للتداخل كل ما يزيد على f_s/2 قبل محوّل ADC.

تردد التوافقي

7f₁ = 7·400 Hz = 2,8 kHz

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

m = round(1,4) = 1

تردد التداخل الطيفي

f_a = |2800 − 1·2000| = 800 Hz

الإجابة

f_a = 800 Hz

يقع التردد المستعار داخل نطاق الإشارة، حيث لا يستطيع أي مرشح رقمي إزالته. لا يفيد إلا مرشح تماثلي قبل محوّل ADC.

5.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: V_out = −1,564 V

قواعد مكبّر العمليات المثالي: مع التغذية الراجعة السالبة، يضبط المكبّر خرجه بحيث يكون دخلاه على الجهد نفسه (V₋ = V₊)، ولا يدخل أي تيار إلى أي من الدخلين. كتابة قانون كيرشوف للتيار عند الدخل العاكس مع هاتين الحقيقتين تعطي الخرج.

الدخل العاكس يتبع الدخل

V₋ = V₊ = −0,5 V

I = V₋/R₁ = −0,5/47 = −0,01064 mA

جهد الخرج

التيار عبر R₁ يمرّ أيضًا عبر R_f.

V_out = V₋ + I·R_f = −0,5 + (−0,01064)·100 = −1,564 V

الإجابة

V_out = −1,564 V

6.دوائر مكبّرات العمليات

الإجابة: I_f = 0,89 mA

تيارات الدخل

V₋ = 0، لذا يقع على كل مقاومة دخل كامل جهد دخلها.

I₁ = V₁/R₁ = −1,1/10 = −0,11 mA

I₂ = V₂/R₂ = 1/1 = 1 mA

I_f = I₁ + I₂ = 0,89 mA

الإجابة

I_f = 0,89 mA

7.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: R_eq = 7,333 Ω

المقاومات على التوالي والتوازي: على التوالي يمرّ التيار نفسه في كل مقاومة و R = R₁ + R₂ + …. وعلى التوازي يكون الجهد نفسه على كل مقاومة و 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. تُبسَّط شبكة السلّم زوجًا بعد زوج حتى تبقى مقاومة مكافئة واحدة.

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

ابدأ من الطرف الأبعد عن المصدر وتقدّم نحوه. المقاومات التي يمرّ بها التيار نفسه على التوالي؛ والمقاومات بين العقدتين نفسيهما على التوازي.

R₃ + R₄ = 10 + 6 = 16 Ω

R₂ ∥ 16 = 8·16/(8+16) = 5,333 Ω

R_eq = R₁ + 5,333 = 2 + 5,333 = 7,333 Ω

الإجابة

R_eq = 7,333 Ω

8.المقاومات على التوالي والتوازي

الإجابة: I_R2 = 0,7438 A

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

R₅ + R₆ = 6 + 8 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,974 Ω

R₃ + 8,974 = 12,97 Ω

R₂ ∥ 12,97 = 7,869 Ω

R_eq = R₁ + 7,869 = 8 + 7,869 = 15,87 Ω

التيار من المصدر

لا يرى المصدر إلا R_eq، فيعطي قانون أوم التيار الذي يورّده. وهذا التيار يمرّ عبر R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/15,87 = 1,89 A

التيار عبر R₂

اطرح الهبوط على R₁ لتحصل على الجهد عند العقدة A، وهو الجهد على R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,89·8 = 14,88 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,88/20 = 0,7438 A

الإجابة

I_R2 = 0,7438 A

9.ثيفنن ونورتن

الإجابة: I_L = 0,5714 A

نظرية ثيفنن: أي شبكة خطية ذات طرفين تتصرّف كمصدر جهد واحد V_th على التوالي مع مقاومة R_th. ونظرية نورتن تعطي الشبكة نفسها كمصدر تيار I_N = V_th/R_th على التوازي مع R_th.

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·3/(5+3) = 1,875 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 1,875 + 3 = 4,875 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا لا يمرّ تيار في R₃، فلا هبوط عليه و V_b = V_A. يشكّل R₁ و R₂ مقسّم جهد.

V_th = V₁·R₂/(R₁+R₂) = 12·3/(5+3) = 4,5 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = 4,5/(4,875 + 3) = 0,5714 A

10.ثيفنن ونورتن

الإجابة: P_L = 10,92 W

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

استبدل مصادر الجهد بقصر ومصادر التيار بدوائر مفتوحة، ثم انظر إلى الدائرة من a–b.

R₁ ∥ R₂ = 5·8/(5+8) = 3,077 Ω

R_th = (R₁ ∥ R₂) + R₃ = 3,077 + 20 = 23,08 Ω

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

عندما يكون a–b مفتوحًا، المسار الوحيد لـ Iₛ هو عبر R₃ إلى العقدة A. أوجد V_A بتراكب V₁ و Iₛ، ثم أضف الهبوط على R₃.

V_A = V₁·R₂/(R₁+R₂) + I_s·(R₁∥R₂) = 18,46 + (−2,5)·3,077 = 10,77 V

V_th = V_B = V_A + I_s·R₃ = 10,77 + (−2,5)·20 = −39,23 V

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

يتصرّف مصدر ثيفنن و R_th على التوالي عند a–b تمامًا كالدائرة الأصلية، فيرى الحِمل حلقة توالٍ بسيطة.

I_L = V_th/(R_th + R_L) = −39,23/(23,08 + 6) = −1,349 A

P_L = I_L²·R_L = −1,349²·6 = 10,92 W

ExamProblems · examproblems.com/courses/measurement-and-instrumentation

القياس والأجهزة: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

قنطرة ويتستون ومقاييس الانفعال

الطريقة

اكتساب البيانات وأخذ العينات

الطريقة

دوائر مكبّرات العمليات

المقاومات على التوالي والتوازي

الطريقة

ثيفنن ونورتن

الطريقة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

التغير النسبي

الخرج الخطي

الإجابة

خرج المدى الكامل

الخرج عند هذا الحمل

الإجابة

البايتات لكل عينة

معدل البايتات

الذاكرة

الإجابة

تردد التوافقي

أقرب مضاعف لمعدل أخذ العينات

تردد التداخل الطيفي

الإجابة

الدخل العاكس يتبع الدخل

جهد الخرج

الإجابة

تيارات الدخل

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

الإجابة

اجمع المقاومات بدءًا من الطرف البعيد

التيار من المصدر

التيار عبر R₂

الإجابة

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد Rth مع إطفاء كل المصادر

أوجد Vth، جهد الدائرة المفتوحة

صِل الحِمل بمكافئ ثيفنن

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة

أوجد R_th مع إطفاء كل المصادر

أوجد V_th، جهد الدائرة المفتوحة