مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من الألومنيوم (القطر 50 mm والطول 500 mm وE = 70 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس (القطر 50 mm والطول 200 mm وE = 120 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 100 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø50 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 250 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,8 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 30 kW عند 1450 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 40 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A. أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2 mP = 45 kN عند 2 mw = 8 kN/m من 0 إلى 2 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 8 mw = 8 kN/m من 0 إلى 8 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 60 MPa في الشد و 150 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 60 MPa و σᵧ = −60 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 100 MPa؟

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 100 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 20 MPa، σᵧ = −10 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = 20 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 10 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 43,12 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3,638 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,5/1,16 × 10⁻⁵ = 43120 N = 43,12 kN

الإجابة

P = 43,12 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 46,77 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 120000·1963/200 = 1,178 × 10⁶ N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 100000·1,178 × 10⁶/1,283 × 10⁶ = 91837 N

الإجهاد

σ₂ = 91837/1963 = 46,77 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 46,77 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 29,98 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·80·0,5904)) = 29,98 mm

d_i = 0,8·29,98 = 23,99 mm

الإجابة

d_o = 29,98 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 25,15 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 29,3 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·40)) = 29,3 mm

الإجابة

d = 29,3 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −23,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −45·0,5 = −22,5 kN·m

w: −8·0,5²/2 = −1 kN·m

M_x = −22,5 − 1 = −23,5 kN·m

الإجابة

M_x = −23,5 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 28,44 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 8·8·4

R_B = 256/6 = 42,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 42,67 = 21,33 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 21,33/8 = 2,667 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 21,33²/(2·8) = 28,44 kN·m

الإجابة

M_max = 28,44 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 55,84 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

الجذع: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·305 + 3600·150)/5400 = 201,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·10³/12 + 1800·(305 − 201,7)² = 1,924 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 12·300³/12 + 3600·(150 − 201,7)² = 3,661 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,924 × 10⁷ + 3,661 × 10⁷ = 5,585 × 10⁷ mm⁴ = 55,84 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 55,84 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 4,147 kN·m

المركز

ȳ = (1600·145 + 1680·70)/3280 = 106,6 mm

الحافة العلوية: c = 150 − 106,6 = 43,41 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 160·10³/12 + 1600·38,41² + 12·140³/12 + 1680·36,59² = 7,367 × 10⁶ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التقعّر: الأعلى في ضغط، والأسفل في شد.

الحافة العلوية: M = 150·7,367 × 10⁶/43,41 = 25,45 kN·m

الحافة السفلية: M = 60·7,367 × 10⁶/106,6 = 4,147 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 4,147 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 4,147 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 80 MPa

نصف القطر المطلوب

C = (60 + (−60))/2 = 0 MPa

R = σ₁ − C = 100 − 0 = 100 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 60²) = 80 MPa

الإجابة

τ_xy = 80 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 31,62 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 5 MPa, R = 18,03 MPa

σ₁ = 23,03 MPa, σ₂ = −13,03 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(23,03² − 23,03·(−13,03) + (−13,03)²) = 31,62 MPa

الإجابة

σ_vM = 31,62 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,02573 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 10·2500³/(24·2,53 × 10¹¹) = 0,02573 rad

الإجابة

θ_A = 0,02573 rad

أي 1,474°.

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,151 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 42,97 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/3500² = 42970 N = 42,97 kN

الإجابة

P_cr = 42,97 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 111 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

الإجابة

σ_cr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials