مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 65 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 10 kNالجزء 1: Ø25 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ طوله 0,5 m يحمل عزم التواء 750 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 2°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 750 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 25 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند C، على بعد 2,5 m من A و 3 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 25 mmT₀ = 250 N·ma = 2,5 mb = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 10 m20 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد عزم الانحناء M_B عند الركيزة B. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 7,5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_B = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 140 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmالفتحة: 60 × 30 mmمركز الثقب: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −10 MPa، σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 30° باتجاه عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = −10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 50 MPa و σᵧ = 80 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 25° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 6 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 20 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,069 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 65·1000/314,2 = 206,9 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 206,9/100000 = 0,002069 = 2069 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,002069·1000 mm = 2,069 mm

الإجابة

δ = 2,069 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,8541 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 20,37 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,37·2000/70000 = 0,5821 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 31,83·1000/117000 = 0,2721 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,8541 mm

الإجابة

δ = 0,8541 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 34,2 mm

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·500/(80000·0,03491) = 134287 mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 34,2 mm

الإجابة

d = 34,2 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 13,06 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·3/5,5 = 136,4 N·m

T_B = 250·2,5/5,5 = 113,6 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 136364·2500/(39000·38350) = 0,2279 rad = 13,06°

الإجابة

φ_C = 13,06°

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 15,83 kN, R₂ = 39,17 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 31,67, M_C = 63,33, M_D = 95 kN·m, M_E = 86,67, M_F = 78,33, M_G = 0

الإجابة

علامة D: M_D = 95 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_B = −25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·7,5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·7,5·3,75

R_B = 225/5 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45 = 15 kN

اقطع عند B واحتفظ بالجزء البارز

الحمل على الجزء البارز، w·a، يؤثّر على بعد a/2 من B ويجعل الكمرة تتحدّب فوق الركيزة.

M_B = −w·a²/2 = −8·2,5²/2 = −25 kN·m

الإجابة

M_B = −25 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 22,6 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

الجذع: A_w = 16·160 = 2560 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·175 + 2560·80)/9160 = 148,4 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·30³/12 + 6600·(175 − 148,4)² = 5,147 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 16·160³/12 + 2560·(80 − 148,4)² = 1,746 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,147 × 10⁶ + 1,746 × 10⁷ = 2,26 × 10⁷ mm⁴ = 22,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 22,6 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 63,37 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (20000·100 − 1800·140)/(20000 − 1800) = 96,04 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·3,956² = 66,98 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·30³/12 + 1800·43,96² = 3,613 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 63,37 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 63,37 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 84,64 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 30 − (−40)·0,5 − 40·(−0,866) = 84,64 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = −24,64 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 84,64 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 40,04 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 65 + −15·0,6428 + −20·0,766 = 40,04 MPa

الإجابة

σ_θ = 40,04 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 13,33 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 13,33 mm

الإجابة

δ_max = 13,33 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·20·8000⁴/(384·200000·22,22) = 2,4 × 10⁸ mm⁴

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 240 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 35,98 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4000² = 35983 N = 35,98 kN

الإجابة

P_cr = 35,98 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 31,58 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·5000 = 5000 mm

KL/r = 5000/20 = 250

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/250² = 31,58 MPa

الإجابة

σ_cr = 31,58 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials