مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 16 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 55 kNالجزء 1: Ø30 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 60 mm وطوله 2 m؛ والجزء BC قطره 50 mm وطوله 1,2 m. يؤثّر عزم التواء 1500 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 1500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 15 kW عند 1800 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 15 kWN = 1800 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 9 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 5 kN/m من 0 إلى 10 mx = 9 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 25 kN عند 2 mw = 8 kN/m من 0 إلى 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 240 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 120 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 12 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 240 mmh = 120 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 100 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −30 MPa و σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −30 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −60 MPa، σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = −60 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −50 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 12 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 2 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 130 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 130 kNn = 2,5L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 5720 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 572/100000 = 0,00572 = 5720 µε

الإجابة

ε = 5720 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 175,1 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 77,81 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 175,1 MPa

الإجابة

σ_max = 175,1 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 61,12 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

الإجهاد في كل جزء

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

τ_BC = 16·1,5 × 10⁶/(π·50³) = 61,12 MPa

الإجابة

τ_max = 61,12 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 17,17 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 15000/188,5 = 79,58 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·79577/(π·80)) = 17,17 mm

الإجابة

d = 17,17 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −20 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

اقطع عند x = 9 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 25 − 5·9 = −20 kN

الإجابة

V_x = −20 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 41 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 8·4·2

R_B = 114/4 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 28,5 = 28,5 kN

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 28,5·2 − 8·2·1 = 41 kN·m

الإجابة

M_x = 41 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 7,465 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 240·12 = 2880 mm², y₁ = 6 mm

الساقان: A₂ = 2·12·108 = 2592 mm², y₂ = 12 + 108/2 = 66 mm

المركز

ȳ = (2880·6 + 2592·66)/5472 = 34,42 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 240·12³/12 + 2880·(6 − 34,42)² = 2,361 × 10⁶ mm⁴

الساقان: 2·12·108³/12 + 2592·(66 − 34,42)² = 5,104 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,361 × 10⁶ + 5,104 × 10⁶

I_x = 7,465 × 10⁶ mm⁴ = 7,465 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 7,465 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 41,74 kN·m

المركز

ȳ = (4500·292,5 + 5040·140)/9540 = 211,9 mm

الحافة العلوية: c = 305 − 211,9 = 93,07 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 180·25³/12 + 4500·80,57² + 18·280³/12 + 5040·71,93² = 8,845 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 50·8,845 × 10⁷/93,07 = 47,52 kN·m

الحافة السفلية: M = 100·8,845 × 10⁷/211,9 = 41,74 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 41,74 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 41,74 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 60,83 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−30 − 90)/2)² + 10²) = 60,83 MPa

الإجابة

τ_max = 60,83 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 180,8 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 30 MPa, R = 103 MPa

σ₁ = 133 MPa, σ₂ = −72,96 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(133² − 133·(−72,96) + (−72,96)²) = 180,8 MPa

الإجابة

σ_vM = 180,8 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 73,98 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 73,98 mm

الإجابة

δ_max = 73,98 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 2,143 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 2000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 2000·4000³/(48·1,68 × 10¹³) = 0,1587 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 1,984 mm

اجمعها

δ_max = 0,1587 + 1,984 = 2,143 mm

الإجابة

δ_max = 2,143 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 4,205 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/3000² = 4205 N = 4,205 kN

الإجابة

P_cr = 4,205 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 60,52 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60,52 mm

الإجابة

d = 60,52 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 132,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials