مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 400 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 15 mm بعزم 50 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 300 mm بزاوية 4,43° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 50 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 4,43°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 20 kW عند 750 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 20 kWN = 750 rpmd_o = 75 mmd_i = 45 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 7,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mw = 12 kN/m من 0 إلى 8 mx = 7,5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 9,5 mw = 6 kN/m من 0 إلى 9,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

x_c = m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 90 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −60 MPa، σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = −40 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 60 mm يحمل عزم انحناء مقداره 300 N·m مع عزم التواء 2000 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 60 mmM = 300 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 50 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 50 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 26,31 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/1,14 × 10⁻⁵ = 26313 N = 26,31 kN

الإجابة

P = 26,31 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 349,1 kN

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 100·10³·4006 = 4,987 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0007) = 0,0007 (النحاس الأصفر)

أكبر حمل

P_max = 0,0007·4,987 × 10⁸ = 349109 N = 349,1 kN

الإجابة

P_max = 349,1 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 39,03 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4,43·π/180 = 0,07732 rad

معامل القص

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·300/(4970·0,07732) = 39034 MPa

G = 39,03 GPa

الإجابة

G = 39,03 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,532 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 20000/78,54 = 254,6 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 254648·37,5/2,704 × 10⁶ = 3,532 MPa

الإجابة

τ_max = 3,532 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −42 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·8·4

R_B = 384/8 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 48 = 48 kN

اقطع عند x = 7,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 48 − 12·7,5 = −42 kN

الإجابة

V_x = −42 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 7,719 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·9,5 = 57 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·9,5·4,75

R_B = 270,8/8 = 33,84 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 33,84 = 23,16 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·23,16/6 = 7,719 m

الإجابة

x_c = 7,719 m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 44,36 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

الجذع: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·270 + 2600·130)/6200 = 211,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·20³/12 + 3600·(270 − 211,3)² = 1,253 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 10·260³/12 + 2600·(130 − 211,3)² = 3,183 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,253 × 10⁷ + 3,183 × 10⁷ = 4,436 × 10⁷ mm⁴ = 44,36 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 44,36 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 16,56 kN·m

المركز

ȳ = (4500·272,5 + 4160·130)/8660 = 204 mm

الحافة العلوية: c = 285 − 204 = 80,95 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 180·25³/12 + 4500·68,45² + 16·260³/12 + 4160·74,05² = 6,756 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التقعّر: الأعلى في ضغط، والأسفل في شد.

الحافة العلوية: M = 90·6,756 × 10⁷/80,95 = 75,12 kN·m

الحافة السفلية: M = 50·6,756 × 10⁷/204 = 16,56 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 16,56 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 16,56 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 47,66 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = −55 MPa, R = √((−5)² + (−40)²) = 40,31 MPa

σ₁ = −14,69 MPa, σ₂ = −95,31 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(80,62, 14,69, 95,31)/2 = 47,66 MPa

الإجابة

τ_abs = 47,66 MPa

هنا تحكم الدائرة خارج المستوى: الحد الأقصى المطلق أكبر من الحد الأقصى في المستوى R.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 54,76 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·300000/(π·60³) = 14,15 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·60³) = 47,16 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 7,074 MPa

R = √(7,074² + 47,16²) = 47,68 MPa

σ₁ = C + R = 54,76 MPa

σ₂ = C − R = −40,61 MPa

الإجابة

σ₁ = 54,76 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 9,47 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·4000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 9,47 mm

الإجابة

δ_max = 9,47 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·70000·11,11) = 6,429 × 10⁷ mm⁴

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 64,29 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 23,55 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

الإجابة

P_cr = 23,55 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 50,75 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·50000 = 100000 N

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 50,75 mm

الإجابة

d = 50,75 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 118,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials