الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
قوة القص وعزم الانحناء
- القص والعزم
- V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
- إجهاد الانحناء
- σ = M·y/I
- مستطيل
- I = bh³/12
- معامل المقطع
- W = I/ymax
- بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
- Mmax = wL²/8
الطريقة
- أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
- اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
- قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
- لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
- المركز
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- مستطيل
- I = bh³/12
- نظرية المحور الموازي
- I = Ic + A·d²
- مقطع مركّب
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
ترخيم الكمرة
- حمل مركّز في منتصف البحر
- δ = PL³/(48EI)
- حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- كابولي، حمل طرفي
- δ = PL³/(3EI)
- كابولي، حمل منتظم
- δ = wL⁴/(8EI)
- التراكب
- δ = δ1 + δ2
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2مسائل تدريبية
1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 40 mm والطول 200 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.
المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø40 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.
P = 90 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، النحاس (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 1000 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 39 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الفولاذ قطره 50 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند C، على بعد 0,8 m من A و 3 m من B. أوجد عزم ردّ الفعل TA عند الجدار A.
d = 50 mmT0 = 100 N·ma = 0,8 mb = 3 m
TA = N·m
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M0 = 60 kN·m عند x = 4 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء Mx يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 8 mM0 = 60 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 4 m
Mx = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
25 kN @ 6 m45 kN @ 1 m4 kN/m, 0–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 144 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 200 mmh = 240 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 40 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σالأعلى عند الحافة العلوية.
bf = 280 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 260 mmM = 40 kN·m
σالأعلى = MPa
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
عند نقطة σₓ = 10 MPa، σᵧ = −50 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 45° باتجاه عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σy′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.
σx = 10 MPaσy = −50 MPaτxy = −50 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 30 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° عكس عقارب الساعة من المحور x.
σx = 30 MPaσy = 10 MPaτxy = −10 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.
w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.ترخيم الكمرةصعبة
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.
w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 140 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 140 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm
3المحاليل
1.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: P = 31,42 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²
المرونات
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1257) = 1,592 × 10⁻⁶ mm/N
الحمل
P = 0,2/6,366 × 10⁻⁶ = 31416 N = 31,42 kN
الإجابة
P = 31,42 kN
2.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σmax = 286,5 MPa
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
القوة نفسها في الجزأين
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
A1 = π·25²/4 = 490,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 183,3 MPa
σ2 = 286,5 MPa
أكبر إجهاد
الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.
σmax = 286,5 MPa
الإجابة
σmax = 286,5 MPa
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 8,768 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 1000·1000·1500/(39000·251327) = 0,153 rad
φ = 0,153·180/π = 8,768°
الإجابة
φ = 8,768°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: TA = 78,95 N·m
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده TA + TB = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).
الاتزان والتوافق
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·3/3,8 = 78,95 N·m
TB = 100·0,8/3,8 = 21,05 N·m
الإجابة
TA = 78,95 N·m
5.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 30 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.
ردود أفعال الركائز
العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: RB·L − M0 = 0. الاتزان الرأسي: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 60/8 = 7,5 kN (إلى الأعلى)
RA = −RB = −7,5 kN (إلى الأسفل)
اقطع يمين الازدواج مباشرةً
يحتوي الجزء الأيسر الآن على RA والازدواج.
Mx = RA·a + M0 = −7,5·4 + 60 = 30 kN·m
الإجابة
Mx = 30 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: E (x = 4 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 29,25 kN, R2 = 56,75 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 27,25, MC = 5,5, MD = −20,25, ME = −50 kN·m, MF = −25, MG = 0
الإجابة
علامة E: ME = −50 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (48000·120 − 1963·144)/(48000 − 1963) = 119 mm
اللوح الكامل حول ȳ
200·240³/12 + 48000·1,024² = 230,5 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·50⁴/64 + 1963·25,02² = 1,536 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 228,9 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: σالأعلى = 40,76 MPa
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 280·20 = 5600 mm², yf = 260 + 20/2 = 270 mm
الجذع: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm
المركز
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5600·270 + 3640·130)/9240 = 214,8 mm
نظرية المحور الموازي
الشفة: 280·20³/12 + 5600·(270 − 214,8)² = 1,722 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 14·260³/12 + 3640·(130 − 214,8)² = 4,671 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,722 × 10⁷ + 4,671 × 10⁷ = 6,393 × 10⁷ mm⁴
إجهاد الانحناء
تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.
y = 280 − 214,8 = 65,15 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·65,15/6,393 × 10⁷ = 40,76 MPa
الإجابة
σالأعلى = 40,76 MPa
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σy′ = −70 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل للوجه y′
σy′ = −20 − 30·0 − (−50)·(−1) = −70 MPa
تحقّق
مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.
σx′ = 30 MPa, σx′ + σy′ = −40 = σx + σy
الإجابة
σy′ = −70 MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σθ = 10 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل
σθ = 20 + 10·0 + −10·1 = 10 MPa
الإجابة
σθ = 10 MPa
11.ترخيم الكمرة
الإجابة: δmax = 1,101 mm
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
وحدات متّسقة
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²
الترخيم
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2500⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 1,101 mm
الإجابة
δmax = 1,101 mm
12.ترخيم الكمرة
الإجابة: Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
حدّ الترخيم
δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm
عزم القصور الذاتي المطلوب
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,172 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴
13.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 102,8 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 1·4000 = 4000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/4000² = 102808 N = 102,8 kN
الإجابة
Pcr = 102,8 kN
14.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 85,36 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 3·140000 = 420000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·420000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 85,36 mm
الإجابة
d = 85,36 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 164، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials