مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 500 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 150 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 150 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 65 kNالجزء 1: Ø40 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الألومنيوم (قطره الخارجي 50 mm، وقطره الداخلي 30 mm، وطوله 0,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 200 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 200 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 10 kW بسرعة 1000 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,5 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 10 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 5 m من A. أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 55 kN عند 5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 6 mP = 75 kN عند 1 mw = 4 kN/m من 0 إلى 6 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 150 MPa، σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 25° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 90 MPa و σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,138 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 120·10³·4006 = 5,435 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 150000·500/5,435 × 10⁸ = 0,138 mm

الإجابة

δ = 0,138 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 3,104 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 51,73·2000/100000 = 1,035 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 206,9·1000/100000 = 2,069 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,104 mm

الإجابة

δ = 3,104 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,4126 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

زاوية الالتواء

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 200000·500/(26000·534071) = 0,007202 rad

φ = 0,007202·180/π = 0,4126°

الإجابة

φ = 0,4126°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 20,52 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 10000/104,7 = 95,49 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·60·0,9375)) = 20,52 mm

d_i = 0,5·20,52 = 10,26 mm

الإجابة

d_o = 20,52 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 20,09 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −241,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −55·3,5 = −192,5 kN·m

w: −8·3,5²/2 = −49 kN·m

M_x = −192,5 − 49 = −241,5 kN·m

الإجابة

M_x = −241,5 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 72,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 75·1 + 4·6·3

R_B = 147/6 = 24,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 99 − 24,5 = 74,5 kN

أين يكون V = 0؟

V(1⁻) = R_A − w·1 = 70,5 kN

V(1⁺) = 70,5 − 75 = −4,5 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 74,5·1 − 4·1²/2 = 72,5 kN·m

الإجابة

M_max = 72,5 kN·m

يقع عند x = 1 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 6,96 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

الجذع: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·115 + 1400·50)/10400 = 106,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 300·30³/12 + 9000·(115 − 106,3)² = 1,364 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 14·100³/12 + 1400·(50 − 106,3)² = 5,596 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,364 × 10⁶ + 5,596 × 10⁶ = 6,96 × 10⁶ mm⁴ = 6,96 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 6,96 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 35,63 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 300·10 = 3000 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

الجذع: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·245 + 1920·120)/4920 = 196,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 300·10³/12 + 3000·(245 − 196,2)² = 7,164 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·240³/12 + 1920·(120 − 196,2)² = 2,037 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,164 × 10⁶ + 2,037 × 10⁷ = 2,753 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 196,2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·196,2/2,753 × 10⁷ = 35,63 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 35,63 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 52,54 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 100 − 50·0,6428 − 20·0,766 = 52,54 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 147,5 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 200 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 52,54 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −85 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −85·1 + −20·0 = −85 MPa

الإجابة

τ_θ = −85 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 3,488 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 12·2500⁴/(8·1,68 × 10¹³) = 3,488 mm

الإجابة

δ = 3,488 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·6000⁴/(384·70000·16,67) = 1,736 × 10⁸ mm⁴

I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 173,6 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 13,25 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/1000² = 13247 N = 13,25 kN

الإجابة

P_cr = 13,25 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 24,48 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/12,5 = 168

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24,48 MPa

الإجابة

σ_cr = 24,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials