مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 16 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 20 kNالجزء 1: Ø25 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 100 kW عند 1500 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 80 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 100 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 35 kN·m عند x = 8 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mM₀ = 35 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 8 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 0 m45 kN @ 12 m20 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 220 mm وسُمكها 12 mm، وعمق كلي 460 mm، وجذع سُمكه 8 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 50 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار أقصى إجهاد انحناء σ_max في المقطع.

B = 220 mmH = 460 mmt_f = 12 mmt_w = 8 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −10 MPa، σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = −40 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = −10 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 50 mm يحمل قوة شد محورية مقدارها 100 kN مع عزم التواء 2000 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 50 mmF = 100 kNT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 19 kNa = 1 mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 9 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 25 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 25 kNn = 2,5L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 1421 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 20·1000/201,1 = 99,47 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 99,47/70000 = 0,001421 = 1421 µε

الإجابة

ε = 1421 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 176,8 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 40,74 MPa

σ₂ = 176,8 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 176,8 MPa

الإجابة

σ_max = 176,8 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 2,923 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·251327) = 0,05101 rad

φ = 0,05101·180/π = 2,923°

الإجابة

φ = 2,923°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 34,35 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 100000/157,1 = 636,6 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

الإجابة

d = 34,35 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 7 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 35/10 = 3,5 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −3,5 kN (إلى الأسفل)

اقطع يمين الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر الآن على R_A والازدواج.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,5·8 + 35 = 7 kN·m

الإجابة

M_x = 7 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 71,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −73,33, M_D = −126,7, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −180 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 22,87 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

الجذع: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·245 + 1920·120)/3520 = 176,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·10³/12 + 1600·(245 − 176,8)² = 7,451 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·240³/12 + 1920·(120 − 176,8)² = 1,541 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,451 × 10⁶ + 1,541 × 10⁷ = 2,287 × 10⁷ mm⁴ = 22,87 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 22,87 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_max = 35,91 MPa

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 460 − 2·12 = 436 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (220·460³ − 212·436³)/12

I_x = 3,202 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 230 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·230/3,202 × 10⁸ = 35,91 MPa

الإجابة

σ_max = 35,91 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 56,57 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 30 MPa, R = √((−40)² + (−40)²) = 56,57 MPa

σ₁ = 86,57 MPa, σ₂ = −26,57 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(113,1, 86,57, 26,57)/2 = 56,57 MPa

الإجابة

τ_abs = 56,57 MPa

هنا σ₁ و σ₂ مختلفا الإشارة، لذا الحد الأقصى في المستوى R هو أيضًا الحد الأقصى المطلق.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 110,8 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = 100000/(π·50²/4) = 100000/1963 = 50,93 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·50³) = 81,49 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 25,46 MPa

R = √(25,46² + 81,49²) = 85,37 MPa

σ₁ = C + R = 110,8 MPa

σ₂ = C − R = −59,91 MPa

الإجابة

σ₁ = 110,8 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 11 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 19000 N, a = 1000 mm, b = 5000 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·1000²·5000²/(3·2,4 × 10¹²·6000) = 11 mm

الإجابة

δ_P = 11 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 13,48 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 9000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·4000³/(48·4,6 × 10¹²) = 2,609 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 10,87 mm

اجمعها

δ_max = 2,609 + 10,87 = 13,48 mm

الإجابة

δ_max = 13,48 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 104,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/1400² = 104907 N = 104,9 kN

الإجابة

P_cr = 104,9 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 58,26 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 58,26 mm

الإجابة

d = 58,26 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 171,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials