مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 150 MPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 70 GPa والإجهاد المسموح 50 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 75 kW عند 500 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A. أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2,5 mP = 15 kN عند 2 mw = 8 kN/m من 0 إلى 2,5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP = 55 kN عند 5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 144 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 150 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −70 MPa و σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 12 kNw = 10 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 80 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 80 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 2551 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 60·1000/201,1 = 298,4 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 298,4/117000 = 0,002551 = 2551 µε

الإجابة

ε = 2551 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 469 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·8482 = 6,566 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,00075, 0,0007143) = 0,0007143 (الألومنيوم)

أكبر حمل

P_max = 0,0007143·6,566 × 10⁸ = 468995 N = 469 kN

الإجابة

P_max = 469 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,71 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·251327) = 0,02984 rad

φ = 0,02984·180/π = 1,71°

الإجابة

φ = 1,71°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 29,29 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 75000/52,36 = 1432 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1,432 × 10⁶·37,5/1,834 × 10⁶ = 29,29 MPa

الإجابة

τ_max = 29,29 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −11,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m

w: −8·1²/2 = −4 kN·m

M_x = −7,5 − 4 = −11,5 kN·m

الإجابة

M_x = −11,5 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 230 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·5 + 10·10·5

R_B = 775/10 = 77,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 77,5 = 77,5 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 77,5·4 − 10·4·2 = 230 kN·m

الإجابة

M_x = 230 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (48000·120 − 2827·144)/(48000 − 2827) = 118,5 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·240³/12 + 48000·1,502² = 230,5 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·25,5² = 2,475 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 228 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 17,31 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (2000·230 + 2640·110)/4640 = 161,7 mm

الحافة العلوية: c = 240 − 161,7 = 78,28 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 100·20³/12 + 2000·68,28² + 12·220³/12 + 2640·51,72² = 2,71 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 50·2,71 × 10⁷/78,28 = 17,31 kN·m

الحافة السفلية: M = 150·2,71 × 10⁷/161,7 = 25,14 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 17,31 kN·m (الحافة العلوية)

الإجابة

M_allow = 17,31 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = 74,52 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 10 − 110) = 149°

الزاوية على العنصر

θ_p = 74,52°

الإجابة

θ_p = 74,52°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −43,48 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = −35 + −35·−0,5 + −30·0,866 = −43,48 MPa

الإجابة

σ_θ = −43,48 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 4,984 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 4,984 mm

الإجابة

δ_max = 4,984 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 11,39 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 12000 N, w = 10 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 12000·1500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 6,392 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 4,994 mm

اجمعها

δ_max = 6,392 + 4,994 = 11,39 mm

الإجابة

δ_max = 11,39 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 5,426 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/4000² = 5426 N = 5,426 kN

الإجابة

P_cr = 5,426 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 51,95 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 51,95 mm

الإجابة

d = 51,95 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 161,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials