مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 55 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 120 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 20 mmL = 0,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 25 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 1500 N·m عند C، على بعد 0,5 m من A و 1,5 m من B. أوجد عزم ردّ الفعل T_A عند الجدار A.

d = 25 mmT₀ = 1500 N·ma = 0,5 mb = 1,5 m

T_A = N·m

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 5 kN/m من 0 إلى 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 55 kN عند 3 mw = 4 kN/m من 0 إلى 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 150 mm وسُمكها 18 mm، وعمق كلي 480 mm، وجذع سُمكه 10 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 150 mmH = 480 mmt_f = 18 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 10 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 60 MPa و σᵧ = −30 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 90 MPa؟

σ_x = 60 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 140 MPa و σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° باتجاه عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 7 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 28 kNa = 7 mL = 8 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 2 m من الركيزة B. أوجد الترخيم δ_mid عند منتصف البحر.

P = 11 kNb = 2 mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 140 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 140 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 2735 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 55·1000/201,1 = 273,5 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 273,5/100000 = 0,002735 = 2735 µε

الإجابة

ε = 2735 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 539,6 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0006, 0,0006364) = 0,0006 (الفولاذ)

أكبر حمل

P_max = 0,0006·8,993 × 10⁸ = 539569 N = 539,6 kN

الإجابة

P_max = 539,6 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 17,54 °

عزم القصور القطبي

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(26000·15708) = 0,3061 rad

φ = 0,3061·180/π = 17,54°

الإجابة

φ = 17,54°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: T_A = 1125 N·m

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·1,5/2 = 1125 N·m

T_B = 1500·0,5/2 = 375 N·m

الإجابة

T_A = 1125 N·m

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 20 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·6·3

R_B = 90/6 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 15·2 − 5·2·1 = 20 kN·m

الإجابة

M_x = 20 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 28,13 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·3 + 4·4·2

R_B = 197/4 = 49,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 71 − 49,25 = 21,75 kN

اقطع عند x = 1,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 21,75·1,5 − 4·1,5·0,75 = 28,13 kN·m

الإجابة

M_x = 28,13 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 361,2 × 10⁶ mm⁴

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 480 − 2·18 = 444 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·480³ − 140·444³)/12

I_x = 3,612 × 10⁸ mm⁴ = 361,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 361,2 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 67,72 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

الجذع: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·187,5 + 2880·90)/4980 = 131,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 140·15³/12 + 2100·(187,5 − 131,1)² = 6,716 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 16·180³/12 + 2880·(90 − 131,1)² = 1,264 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,716 × 10⁶ + 1,264 × 10⁷ = 1,936 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 131,1 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·131,1/1,936 × 10⁷ = 67,72 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 67,72 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 60 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (60 + (−30))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 90 − 15 = 75 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 45²) = 60 MPa

الإجابة

τ_xy = 60 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 10 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −10·−1 + 30·0 = 10 MPa

الإجابة

τ_θ = 10 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 61,87 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 28000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 28000·7000²·1000²/(3·9,24 × 10¹¹·8000) = 61,87 mm

الإجابة

δ_P = 61,87 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_mid = 45,63 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 11000 N, b = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

ترخيم المنتصف

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 11000·2000·(3·6000² − 4·2000²)/(48·9,24 × 10¹¹) = 45,63 mm

الإجابة

δ_mid = 45,63 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 22,85 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22,85 kN

الإجابة

P_cr = 22,85 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 80,16 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·140000 = 350000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 80,16 mm

الإجابة

d = 80,16 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 99,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials