مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø30 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 120 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 60 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 20 kW عند 1500 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 6 kN/m من 0 إلى 5 mx = 3 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 5 mP = 35 kN عند 2,5 mw = 2 kN/m من 0 إلى 5 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 260 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 110 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 20 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 260 mmh = 110 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 100 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 30 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 50° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 30 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء M_A عند الطرف المثبَّت.

L = 4 mw = 5 kN/m

M_A = kN·m

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 21,14 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·706,9) = 7,074 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,2/9,461 × 10⁻⁶ = 21140 N = 21,14 kN

الإجابة

P = 21,14 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 28,92 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 120000·1257/500 = 301593 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 60000·301593/497942 = 36341 N

الإجهاد

σ₂ = 36341/1257 = 28,92 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 28,92 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 5,387 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2000/(26000·613592) = 0,09402 rad

φ = 0,09402·180/π = 5,387°

الإجابة

φ = 5,387°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 23,49 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

الإجابة

d = 23,49 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −3 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 15 − 6·3 = −3 kN

الإجابة

V_x = −3 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 50 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2,5 + 2·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 22,5 = 22,5 kN

أين يكون V = 0؟

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 17,5 kN

V(2,5⁺) = 17,5 − 35 = −17,5 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 22,5·2,5 − 2·2,5²/2 = 50 kN·m

الإجابة

M_max = 50 kN·m

يقع عند x = 2,5 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 9,038 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 260·20 = 5200 mm², y₁ = 10 mm

الساقان: A₂ = 2·20·90 = 3600 mm², y₂ = 20 + 90/2 = 65 mm

المركز

ȳ = (5200·10 + 3600·65)/8800 = 32,5 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 260·20³/12 + 5200·(10 − 32,5)² = 2,806 × 10⁶ mm⁴

الساقان: 2·20·90³/12 + 3600·(65 − 32,5)² = 6,232 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,806 × 10⁶ + 6,232 × 10⁶

I_x = 9,038 × 10⁶ mm⁴ = 9,038 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 9,038 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 22,9 kN·m

المركز

ȳ = (3600·215 + 3600·100)/7200 = 157,5 mm

الحافة العلوية: c = 230 − 157,5 = 72,5 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 120·30³/12 + 3600·57,5² + 18·200³/12 + 3600·57,5² = 3,607 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 50·3,607 × 10⁷/72,5 = 24,88 kN·m

الحافة السفلية: M = 100·3,607 × 10⁷/157,5 = 22,9 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 22,9 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 22,9 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 7,757 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 15 − 15·(−0,1736) − 10·0,9848 = 7,757 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 22,24 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 30 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 7,757 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 12,68 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 40 + 20·−0,5 + −20·0,866 = 12,68 MPa

الإجابة

σ_θ = 12,68 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 3,516 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 3,516 mm

الإجابة

δ_max = 3,516 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: M_A = 10 kN·m

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·4/8 = 7,5 kN

العزم عند الطرف المثبَّت

عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 40 − 30 = 10 kN·m

الإجابة

M_A = 10 kN·m

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,159 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·6000 = 6000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·112500/6000² = 2159 N = 2,159 kN

الإجابة

P_cr = 2,159 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 35,25 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

الإجابة

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials