مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

الطريقة

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
Ø 12 mmالفولاذ3 mP = 35 kN

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 12 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
Ø 40 mmالفولاذ1 mØ 12 mmالفولاذ0,5 mP = 50 kN

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σmax في القضيب.

P = 50 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.التواء الأعمدةمتوسطة
T = 100 N·md = 25 mmL = 2,5 mφ = ?

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
d = 30 mmTB​ = 250 N·mTC​ = 200 N·mABC2 m1,2 m

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 30 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند B على بعد 2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 200 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 1,2 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τmax في العمود.

d = 30 mmTB = 250 N·mTC = 200 N·mAB = 2 mBC = 1,2 m
τmax = MPa
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 20 kNP2​ = 65 kNAB1,5 m1,5 m1 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 4 mP1 = 20 kN عند 1,5 mP2 = 65 kN عند 3 m
Mmax = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 8 kN/mP = 55 kNABمقطع2,5 m1,5 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 55 kN عند 2,5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 4 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
B = 200H = 200t = 8xالأبعاد بالـ mm

مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 200 mm، وارتفاعه الخارجي H = 200 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 8 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

B = 200 mmH = 200 mmt = 8 mm
r = mm
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
150 mm150 mm90 mm40 × 30xIx​ = ?

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 40 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmالفتحة: 40 × 30 mmمركز الثقب: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
σx​ = 110σy​ = 50τxy​ = 40MPa

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 110 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σx = 110 MPaσy = 50 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
σx​τxy​سطح العمود

عمود مصمت قطره 50 mm يحمل قوة ضغط محورية مقدارها 200 kN مع عزم التواء 250 N·m. عند سطح العمود، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ1.

d = 50 mmF = −200 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 12 kN/mABθ3 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θA عند الركيزة A، بالراديان.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.ترخيم الكمرةصعبة
P = 40 kNAB2 m2 m

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل RB عند الركيزة الساندة.

L = 4 mP = 40 kN عند 2 m
RB = kN
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 6 md = 80 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 80 kNL = 2,5 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 80 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 80 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 1547 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 35·1000/113,1 = 309,5 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 309,5/200000 = 0,001547 = 1547 µε

الإجابة

ε = 1547 µε
2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σmax = 442,1 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 39,79 MPa
σ2 = 442,1 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σmax = 442,1 MPa

الإجابة

σmax = 442,1 MPa
3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 4,669 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(80000·38350) = 0,08149 rad
φ = 0,08149·180/π = 4,669°

الإجابة

φ = 4,669°
4.التواء الأعمدة

الإجابة: τmax = 84,88 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه TC مأخوذ موجبًا.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 250 = 450 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|max = 450 N·m
τmax = 16·450000/(π·30³) = 84,88 MPa

الإجابة

τmax = 84,88 MPa
5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 56,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣMA = 0: RB·4 = 20·1,5 + 65·3
RB = 225/4 = 56,25 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 56,25 = 28,75 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P1: M = RA·1,5 = 28,75·1,5 = 43,13 kN·m
تحت P2: M = RB·1 = 56,25·1 = 56,25 kN·m

أكبر قيمة

Mmax = 56,25 kN·m (تحت P2)

الإجابة

Mmax = 56,25 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 66,56 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·2,5 + 8·4·2
RB = 201,5/4 = 50,38 kN
ΣFy = 0: RA = 87 − 50,38 = 36,63 kN
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​ = 36,63RB​ = 50,38مقطع2,5 m1,5 m

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 36,63·2,5 − 8·2,5·1,25 = 66,56 kN·m

الإجابة

Mx = 66,56 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 78,45 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = Ic + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

b = 184 mm, h = 184 mm
A = BH − bh = 200·200 − 184·184 = 6144 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 3,781 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(3,781 × 10⁷/6144) = 78,45 mm

الإجابة

r = 78,45 mm
8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 41,81 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 1200·90)/(22500 − 1200) = 74,15 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·0,8451² = 42,2 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

40·30³/12 + 1200·15,85² = 0,3913 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 41,81 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 41,81 × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θp = 26,57 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

στxyCσ1​σ2​

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θp = atan2(2·40, 110 − 50) = 53,13°

الزاوية على العنصر

θp = 26,57°

الإجابة

θp = 26,57°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ1 = 1,009 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الإجهادات عند السطح

σ = F/A = −200000/(π·50²/4) = −200000/1963 = −101,9 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa
στxyCσ1​σ2​

دائرة مور

C = σ/2 = −50,93 MPa
R = √((−50,93)² + 10,19²) = 51,94 MPa
σ1 = C + R = 1,009 MPa
σ2 = C − R = −102,9 MPa

الإجابة

σ1 = 1,009 MPa
11.ترخيم الكمرة

الإجابة: θA = 0,003383 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θA = wL³/(24EI) = 12·3000³/(24·3,99 × 10¹²) = 0,003383 rad

الإجابة

θA = 0,003383 rad

أي 0,1939°.

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: RB = 12,5 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·40/16 = 12,5 kN

الإجابة

RB = 12,5 kN
13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 78,75 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/4200² = 78746 N = 78,75 kN

الإجابة

Pcr = 78,75 kN
14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 52,48 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 3·80000 = 240000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 52,48 mm

الإجابة

d = 52,48 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 133,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials