مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 25 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 120 MPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 70 GPa والإجهاد المسموح 60 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من النحاس الأصفر (قطره الخارجي 80 mm، وقطره الداخلي 60 mm، وطوله 2,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 2000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 2000 N·md_o = 80 mmd_i = 60 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 50 kW عند 300 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

10 kN @ 10 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 9,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 9,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

x_c = m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 300 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 190 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 18 mm. أوجد ارتفاع المركز ȳ فوق الحافة السفلية.

b = 300 mmh = 190 mmt = 18 mm

ȳ = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 40 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmM = 40 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −30 MPa، σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = 60 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = −30 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 600 mm وسُمك جداره 5 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 25° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 600 mmt = 5 mmp = 0,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 4 kNa = 1 mL = 8 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 22 kNw = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 110 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 110 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,091 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/70000 = 0,0007276 = 727,6 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0007276·1500 mm = 1,091 mm

الإجابة

δ = 1,091 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 205,9 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·4006 = 3,432 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0006, 0,0008571) = 0,0006 (الفولاذ)

أكبر حمل

P_max = 0,0006·3,432 × 10⁸ = 205931 N = 205,9 kN

الإجابة

P_max = 205,9 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 2,672 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

زاوية الالتواء

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·2500/(39000·2,749 × 10⁶) = 0,04664 rad

φ = 0,04664·180/π = 2,672°

الإجابة

φ = 2,672°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 47,63 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 50000/31,42 = 1592 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,592 × 10⁶/(π·75)) = 47,63 mm

الإجابة

d = 47,63 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 21,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 56,67, M_C = 113,3 kN·m, M_D = 90, M_E = 66,67, M_F = 43,33, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 113,3 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 7,719 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·9,5 = 114 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,75 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·9,5·4,75

R_B = 541,5/8 = 67,69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 114 − 67,69 = 46,31 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·46,31/12 = 7,719 m

الإجابة

x_c = 7,719 m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: ȳ = 59,75 mm

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 300·18 = 5400 mm², y₁ = 9 mm

الساقان: A₂ = 2·18·172 = 6192 mm², y₂ = 18 + 172/2 = 104 mm

المركز

ȳ = (5400·9 + 6192·104)/11592 = 59,75 mm

الإجابة

ȳ = 59,75 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 152,9 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

الجذع: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·235 + 3960·110)/6960 = 163,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·30³/12 + 3000·(235 − 163,9)² = 1,54 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 18·220³/12 + 3960·(110 − 163,9)² = 2,747 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,54 × 10⁷ + 2,747 × 10⁷ = 4,287 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 163,9 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·163,9/4,287 × 10⁷ = 152,9 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 152,9 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 78,1 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 20 MPa, R = √((−50)² + 60²) = 78,1 MPa

σ₁ = 98,1 MPa, σ₂ = −58,1 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(156,2, 98,1, 58,1)/2 = 78,1 MPa

الإجابة

τ_abs = 78,1 MPa

هنا σ₁ و σ₂ مختلفا الإشارة، لذا الحد الأقصى في المستوى R هو أيضًا الحد الأقصى المطلق.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 27,32 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 0,5·300/5 = 30 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 15·sin²25° + 30·cos²25° = 27,32 MPa

الإجابة

σ_n = 27,32 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 6,187 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 4000 N, a = 1000 mm, b = 7000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 4000·1000²·7000²/(3·1,32 × 10¹²·8000) = 6,187 mm

الإجابة

δ_P = 6,187 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 61,59 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 22000 N, w = 15 N/mm, L = 8000 mm, EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·8000³/(48·1,68 × 10¹³) = 13,97 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 47,62 mm

اجمعها

δ_max = 13,97 + 47,62 = 61,59 mm

الإجابة

δ_max = 61,59 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 32,64 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/4200² = 32638 N = 32,64 kN

الإجابة

P_cr = 32,64 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 56,83 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 56,83 mm

الإجابة

d = 56,83 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 123,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials