الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
قوة القص وعزم الانحناء
- القص والعزم
- V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
- إجهاد الانحناء
- σ = M·y/I
- مستطيل
- I = bh³/12
- معامل المقطع
- W = I/ymax
- بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
- Mmax = wL²/8
الطريقة
- أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
- اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
- قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
- لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
- المركز
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- مستطيل
- I = bh³/12
- نظرية المحور الموازي
- I = Ic + A·d²
- مقطع مركّب
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
ترخيم الكمرة
- حمل مركّز في منتصف البحر
- δ = PL³/(48EI)
- حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- كابولي، حمل طرفي
- δ = PL³/(3EI)
- كابولي، حمل منتظم
- δ = wL⁴/(8EI)
- التراكب
- δ = δ1 + δ2
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2مسائل تدريبية
1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 30 mm والطول 200 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,2 mm إجمالًا.
المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 400 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 50 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ2 في المقطع 2.
المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 200 N·md = 30 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الألومنيوم قطره 50 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 2000 N·m عند C، على بعد 2 m من A و 0,5 m من B. أوجد عزم ردّ الفعل TA عند الجدار A.
d = 50 mmT0 = 2000 N·ma = 2 mb = 0,5 m
TA = N·m
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
40 kN @ 4 m12 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.
L = 5 mw = 20 kN/m من 0 إلى 4 m
Mmax = kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 120 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 52,5 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 25 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σالأعلى عند الحافة العلوية.
bf = 160 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 100 mmM = 25 kN·m
σالأعلى = MPa
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
عند نقطة σₓ = 10 MPa و σᵧ = 80 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τxy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 95 MPa؟
σx = 10 MPaσy = 80 MPaσ1 = 95 MPa
τxy = MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 400 mm وسُمك جداره 12 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 2 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 25° عن محور الأسطوانة. أوجد مقدار إجهاد القص |τn| المؤثّر على امتداد درز اللحام.
D = 400 mmt = 12 mmp = 2 MPaα = 25°
|τn| = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θA عند الركيزة A، بالراديان.
w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.ترخيم الكمرةصعبة
كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 75 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/360. أوجد أصغر عمق hreq للمقطع.
w = 2 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 75 mm
hreq = mm
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 30 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 65 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 65 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm
3المحاليل
1.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: P = 29,34 kN
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
المساحات
A₁ = 706,9 mm², A₂ = 706,9 mm²
المرونات
L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N
الحمل
P = 0,2/6,816 × 10⁻⁶ = 29341 N = 29,34 kN
الإجابة
P = 29,34 kN
2.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σ2 = 21,33 MPa
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
الصلابات
k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm
k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm
حصة المقطع 2
F2 = 50000·539961/644681 = 41878 N
الإجهاد
σ2 = 41878/1963 = 21,33 MPa (ضغط)
الإجابة
σ2 = 21,33 MPa
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 11,08 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(26000·79522) = 0,1935 rad
φ = 0,1935·180/π = 11,08°
الإجابة
φ = 11,08°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: TA = 400 N·m
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده TA + TB = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).
الاتزان والتوافق
TA + TB = 2000
TA·a = TB·b
TA = 2000·0,5/2,5 = 400 N·m
TB = 2000·2/2,5 = 1600 N·m
الإجابة
TA = 400 N·m
5.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: E (x = 4 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 49,33 kN, R2 = 62,67 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 43,33, MC = 74,67, MD = 94, ME = 101,3 kN·m, MF = 56,67, MG = 0
الإجابة
علامة E: ME = 101,3 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mmax = 57,6 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 20·4 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·5 = 20·4·2
RB = 160/5 = 32 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 32 = 48 kN
انعدام القص
تبدأ قوة القص عند RA، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.
RA − w·(x0 − 0) = 0
x0 = 0 + 48/20 = 2,4 m
أقصى عزم
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 0)²/2 = 48·2,4 − 20·2,4²/2 = 57,6 kN·m
الإجابة
Mmax = 57,6 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 32,94 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (18000·75 − 1257·52,5)/(18000 − 1257) = 76,69 mm
اللوح الكامل حول ȳ
120·150³/12 + 18000·−1,689² = 33,8 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−24,19² = 0,8609 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 32,94 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 32,94 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: σالأعلى = 164,7 MPa
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 160·25 = 4000 mm², yf = 100 + 25/2 = 112,5 mm
الجذع: Aw = 8·100 = 800 mm², yw = 100/2 = 50 mm
المركز
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4000·112,5 + 800·50)/4800 = 102,1 mm
نظرية المحور الموازي
الشفة: 160·25³/12 + 4000·(112,5 − 102,1)² = 642361 mm⁴
الجذع: 8·100³/12 + 800·(50 − 102,1)² = 2,837 × 10⁶ mm⁴
Ix = 642361 + 2,837 × 10⁶ = 3,479 × 10⁶ mm⁴
إجهاد الانحناء
تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.
y = 125 − 102,1 = 22,92 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·22,92/3,479 × 10⁶ = 164,7 MPa
الإجابة
σالأعلى = 164,7 MPa
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τxy = 35,71 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
نصف القطر المطلوب
C = (10 + 80)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 95 − 45 = 50 MPa
إجهاد القص
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 35²) = 35,71 MPa
الإجابة
τxy = 35,71 MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: |τn| = 6,384 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σh = pr/t والإجهاد المحوري σa = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.
إجهادات الجدار
r = 400/2 = 200 mm
σh = pr/t = 2·200/12 = 33,33 MPa
σa = pr/(2t) = 16,67 MPa
التحويل إلى الدرز
خذ x على امتداد المحور (σa) و y على امتداد المحيط (σh). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.
|τn| = (33,33 − 16,67)·sin 25°·cos 25° = 6,384 MPa
الإجابة
|τn| = 6,384 MPa
11.ترخيم الكمرة
الإجابة: θA = 0,005051 rad
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.
وحدات متّسقة
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²
ميل الطرف
θA = wL³/(24EI) = 2·2000³/(24·1,32 × 10¹¹) = 0,005051 rad
الإجابة
θA = 0,005051 rad
أي 0,2894°.
12.ترخيم الكمرة
الإجابة: hreq = 180,1 mm
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
وحدات متّسقة
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
w = 2 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²
حدّ الترخيم
δallow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm
عزم القصور الذاتي المطلوب
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3500⁴/(384·11000·9,722) = 3,654 × 10⁷ mm⁴
العمق المطلوب
bh³/12 = Ireq → h = (12·3,654 × 10⁷/75)1/3 = 180,1 mm
الإجابة
hreq = 180,1 mm
عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.
13.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 8,721 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 2·1500 = 3000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN
الإجابة
Pcr = 8,721 kN
14.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 59,55 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 59,55 mm
الإجابة
d = 59,55 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 167,9، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials