الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
قوة القص وعزم الانحناء
- القص والعزم
- V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
- إجهاد الانحناء
- σ = M·y/I
- مستطيل
- I = bh³/12
- معامل المقطع
- W = I/ymax
- بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
- Mmax = wL²/8
الطريقة
- أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
- اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
- قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
- لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
- المركز
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- مستطيل
- I = bh³/12
- نظرية المحور الموازي
- I = Ic + A·d²
- مقطع مركّب
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
ترخيم الكمرة
- حمل مركّز في منتصف البحر
- δ = PL³/(48EI)
- حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- كابولي، حمل طرفي
- δ = PL³/(3EI)
- كابولي، حمل منتظم
- δ = wL⁴/(8EI)
- التراكب
- δ = δ1 + δ2
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2مسائل تدريبية
1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).
P = 120 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa
ε = µε
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.
P = 50 kNالجزء 1: Ø30 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø16 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)
δ = mm
3.التواء الأعمدةمتوسطة
يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 500 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,5 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي do.
T = 500 N·mdi/do = 0,5τallow = 50 MPa
do = mm
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 5 kW بسرعة 300 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,5° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.
P = 5 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0,5°/mG = 26 GPa
d = mm
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 10 mw = 12 kN/m من 0 إلى 10 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
55 kN @ 0 m15 kN @ 12 m60 kN @ 6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 168 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 156 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 200 mmh = 240 mmالفتحة: 50 × 20 mmمركز الثقب: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 70 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θp من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.
σx = 70 MPaσy = 10 MPaτxy = 40 MPa
θp = °
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
عمود مصمت قطره 30 mm يحمل عزم انحناء مقداره 200 N·m مع عزم التواء 500 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τmax.
d = 30 mmM = 200 N·mT = 500 N·m
τmax = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.
w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.ترخيم الكمرةصعبة
كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل RB عند الركيزة الساندة.
L = 4 mP = 65 kN عند 2 m
RB = kN
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 100 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.
L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm
σcr = MPa
3المحاليل
1.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: ε = 2425 µε
قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).
الإجهاد
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 120·1000/706,9 = 169,8 MPa
الانفعال (قانون هوك)
E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 169,8/70000 = 0,002425 = 2425 µε
الإجابة
ε = 2425 µε
2.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 7,282 mm
العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.
القوة نفسها في الجزأين
الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 70,74 MPa
σ2 = 248,7 MPa
اجمع استطالات الأجزاء
δ1 = σ1L1/E1 = 70,74·500/200000 = 0,1768 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 248,7·2000/70000 = 7,105 mm
δ = δ1 + δ2 = 7,282 mm
الإجابة
δ = 7,282 mm
3.التواء الأعمدة
الإجابة: do = 37,87 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
القطر الخارجي من الإجهاد المسموح
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·50·0,9375)) = 37,87 mm
di = 0,5·37,87 = 18,94 mm
الإجابة
do = 37,87 mm
العمود المصمت يحتاج إلى d = 37,07 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.
4.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 51,7 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m
القطر وفق المقاومة
T = 159,2 N·m = 159155 N·mm
dτ = ∛(16·159155/(π·50)) = 25,31 mm
القطر وفق الجساءة
θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·159155/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 51,7 mm
القطر الحاكم
يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.
d = max(25,31, 51,7) = 51,7 mm
الإجابة
d = 51,7 mm
هنا تحكم الجساءة.
5.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 136,5 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·10 = 120 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 12·10·5
RB = 600/10 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 60 = 60 kN
اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 60·3,5 − 12·3,5·1,75 = 136,5 kN·m
الإجابة
Mx = 136,5 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: B (x = 2 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 83,33 kN, R2 = 46,67 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −53,33, MD = 3,333, ME = −60, MF = −30, MG = 0
الإجابة
علامة B: MB = −110 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (48000·120 − 2827·168)/(48000 − 2827) = 117 mm
اللوح الكامل حول ȳ
200·240³/12 + 48000·3,004² = 230,8 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·60⁴/64 + 2827·51² = 7,992 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 229 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (48000·120 − 1000·156)/(48000 − 1000) = 119,2 mm
اللوح الكامل حول ȳ
200·240³/12 + 48000·0,766² = 230,4 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
50·20³/12 + 1000·36,77² = 1,385 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 229 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 229 × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: θp = 26,57 °
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزاوية على الدائرة
تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.
2θp = atan2(2·40, 70 − 10) = 53,13°
الزاوية على العنصر
θp = 26,57°
الإجابة
θp = 26,57°
الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.
10.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: τmax = 101,6 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الإجهادات عند السطح
σ = 32M/(πd³) = 32·200000/(π·30³) = 75,45 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·30³) = 94,31 MPa
دائرة مور
C = σ/2 = 37,73 MPa
R = √(37,73² + 94,31²) = 101,6 MPa
الإجابة
τmax = 101,6 MPa
11.ترخيم الكمرة
الإجابة: δmax = 3,157 mm
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
وحدات متّسقة
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²
الترخيم
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,157 mm
الإجابة
δmax = 3,157 mm
12.ترخيم الكمرة
الإجابة: RB = 20,31 kN
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).
أزل الركيزة الساندة
بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.
δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)
التوافق عند الركيزة الساندة
قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.
RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·65/16 = 20,31 kN
الإجابة
RB = 20,31 kN
13.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 10,24 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 1·6000 = 6000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/6000² = 10235 N = 10,24 kN
الإجابة
Pcr = 10,24 kN
14.انبعاج الأعمدة
الإجابة: σcr = 26,99 MPa
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
نصف قطر الدوران والنحافة
A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,5·2000 = 1000 mm
KL/r = 1000/6,25 = 160
الإجهاد الحرج
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa
الإجابة
σcr = 26,99 MPa
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials