مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس تحت الحمل المحوري.

P = 120 kNd = 16 mmL = 2 mE = 117 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 75 kNالجزء 1: Ø40 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 12 mm بعزم 30 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 300 mm بزاوية 6,49° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 30 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 6,49°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 20 kW عند 300 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 20 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 6 mP₁ = 20 kN عند 2 mP₂ = 25 kN عند 5 m

M_max = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 5 mP = 35 kN عند 4 mw = 12 kN/m من 0 إلى 5 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 240 mm وقطره الداخلي d = 208 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 240 mmd = 208 mm

r = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmM = 30 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = −20 MPa و σᵧ = 40 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 80 MPa؟

σ_x = −20 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 80 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −60 MPa و σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 25° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −60 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 3 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 26 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 5 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 130 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 130 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 10,2 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/117000 = 0,005101 = 5101 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,005101·2000 mm = 10,2 mm

الإجابة

δ = 10,2 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 238,7 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 238,7 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 238,7 MPa

الإجابة

σ_max = 238,7 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 39,03 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 6,49·π/180 = 0,1133 rad

معامل القص

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·300/(2036·0,1133) = 39030 MPa

G = 39,03 GPa

الإجابة

G = 39,03 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 40,18 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·636620/(π·50)) = 40,18 mm

الإجابة

d = 40,18 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 35 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·2 + 25·5

R_B = 165/6 = 27,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 45 − 27,5 = 17,5 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P₁: M = R_A·2 = 17,5·2 = 35 kN·m

تحت P₂: M = R_B·1 = 27,5·1 = 27,5 kN·m

أكبر قيمة

M_max = 35 kN·m (تحت P₁)

الإجابة

M_max = 35 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 57,04 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·4 + 12·5·2,5

R_B = 290/5 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 58 = 37 kN

أين يكون V = 0؟

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 37/12 = 3,083 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = 37·3,083 − 12·3,083²/2 = 57,04 kN·m

الإجابة

M_max = 57,04 kN·m

يقع عند x = 3,083 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 79,4 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 11259 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,098 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(7,098 × 10⁷/11259) = 79,4 mm

الإجابة

r = 79,4 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 37,74 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

الجذع: A_w = 8·280 = 2240 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·290 + 2240·140)/6640 = 239,4 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·20³/12 + 4400·(290 − 239,4)² = 1,141 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 8·280³/12 + 2240·(140 − 239,4)² = 3,677 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,141 × 10⁷ + 3,677 × 10⁷ = 4,818 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 300 − 239,4 = 60,6 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·60,6/4,818 × 10⁷ = 37,74 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 37,74 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 63,25 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (−20 + 40)/2 = 10 MPa

R = σ₁ − C = 80 − 10 = 70 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 30²) = 63,25 MPa

الإجابة

τ_xy = 63,25 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −40,59 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = −70 + 10·0,6428 + 30·0,766 = −40,59 MPa

الإجابة

σ_θ = −40,59 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 23,21 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 26000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·3000²·1000²/(3·8,4 × 10¹¹·4000) = 23,21 mm

الإجابة

δ_P = 23,21 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 2,268 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 5000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 5000·4000³/(48·5,88 × 10¹²) = 1,134 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,134 mm

اجمعها

δ_max = 1,134 + 1,134 = 2,268 mm

الإجابة

δ_max = 2,268 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 38,59 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·6000 = 6000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/6000² = 38586 N = 38,59 kN

الإجابة

P_cr = 38,59 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 58,65 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·130000 = 260000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·260000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 58,65 mm

الإجابة

d = 58,65 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 143,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials