مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 45 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 30 kNالجزء 1: Ø35 mm، 1 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من النحاس الأصفر (قطره الخارجي 75 mm، وقطره الداخلي 45 mm، وطوله 1,2 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 2000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 2000 N·md_o = 75 mmd_i = 45 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 15 kW عند 1450 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 15 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mw = 10 kN/m من 0 إلى 4 mx = 3,5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 10,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 10,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

x_c = m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 120 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 30 MPa و σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 30 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 110 MPa، σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = 110 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 60 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 15 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,619 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 45·1000/490,9 = 91,67 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 91,67/70000 = 0,00131 = 1310 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,00131·2000 mm = 2,619 mm

الإجابة

δ = 2,619 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 3,098 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 31,18 MPa

σ₂ = 265,3 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 31,18·1000/70000 = 0,4454 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265,3·1000/100000 = 2,653 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,098 mm

الإجابة

δ = 3,098 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,304 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 45⁴)/32 = 2,704 × 10⁶ mm⁴

زاوية الالتواء

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 2 × 10⁶·1200/(39000·2,704 × 10⁶) = 0,02276 rad

φ = 0,02276·180/π = 1,304°

الإجابة

φ = 1,304°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 18,86 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 15000/151,8 = 98,79 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·98786/(π·75)) = 18,86 mm

الإجابة

d = 18,86 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −15 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 20 − 10·3,5 = −15 kN

الإجابة

V_x = −15 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 7,219 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·10,5 = 126 kN، تؤثّر عند x̄ = 5,25 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 12·10,5·5,25

R_B = 661,5/8 = 82,69 kN

ΣF_y = 0: R_A = 126 − 82,69 = 43,31 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·43,31/12 = 7,219 m

الإجابة

x_c = 7,219 m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 4,838 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

الجذع: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·105 + 1800·50)/4600 = 83,48 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·10³/12 + 2800·(105 − 83,48)² = 1,32 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 18·100³/12 + 1800·(50 − 83,48)² = 3,517 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,32 × 10⁶ + 3,517 × 10⁶ = 4,838 × 10⁶ mm⁴ = 4,838 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 4,838 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 13,2 kN·m

المركز

ȳ = (6600·235 + 3520·110)/10120 = 191,5 mm

الحافة العلوية: c = 250 − 191,5 = 58,48 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 220·30³/12 + 6600·43,48² + 16·220³/12 + 3520·81,52² = 5,056 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التقعّر: الأعلى في ضغط، والأسفل في شد.

الحافة العلوية: M = 120·5,056 × 10⁷/58,48 = 103,8 kN·m

الحافة السفلية: M = 50·5,056 × 10⁷/191,5 = 13,2 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 13,2 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 13,2 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −27,5 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 30 − −40) = −55,01°

الزاوية على العنصر

θ_p = −27,5°

الإجابة

θ_p = −27,5°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 145,3 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 100 MPa, R = 60,83 MPa

σ₁ = 160,8 MPa, σ₂ = 39,17 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(160,8² − 160,8·39,17 + 39,17²) = 145,3 MPa

الإجابة

σ_vM = 145,3 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 4,395 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 4,395 mm

الإجابة

δ_max = 4,395 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 125,6 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·5000⁴/(384·70000·13,89) = 1,256 × 10⁸ mm⁴

I_req = 125,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 125,6 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 13,82 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/3000² = 13817 N = 13,82 kN

الإجابة

P_cr = 13,82 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 19,83 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/7,5 = 186,7

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/186,7² = 19,83 MPa

الإجابة

σ_cr = 19,83 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials