مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس تحت الحمل المحوري.

P = 80 kNd = 10 mmL = 1 mE = 117 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 60 kNالجزء 1: Ø35 mm، 0,5 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 25 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 20 kW بسرعة 1000 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,25° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 2 kN/m من 0 إلى 10 mx = 5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 10 mw = 4 kN/m من 0 إلى 6 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 20 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mmM = 20 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 10 MPa، σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 15° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 10 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 70 MPa، σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 300 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = 70 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين متساويين P عند نقطتي الثلث (L/3 من كل ركيزة). باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 14 kNL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 8,706 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 80·1000/78,54 = 1019 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1019/117000 = 0,008706 = 8706 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,008706·1000 mm = 8,706 mm

الإجابة

δ = 8,706 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,221 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 191 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 62,36·500/117000 = 0,2665 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·1000/200000 = 0,9549 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,221 mm

الإجابة

δ = 1,221 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 17,24 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(26000·38350) = 0,3009 rad

φ = 0,3009·180/π = 17,24°

الإجابة

φ = 17,24°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 64,35 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·50)) = 26,89 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 64,35 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(26,89, 64,35) = 64,35 mm

الإجابة

d = 64,35 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

اقطع عند x = 5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 10·5 − 2·5·2,5 = 25 kN·m

الإجابة

M_x = 25 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 35,28 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·6·3

R_B = 72/10 = 7,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 7,2 = 16,8 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند R_A، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 16,8/4 = 4,2 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 16,8·4,2 − 4·4,2²/2 = 35,28 kN·m

الإجابة

M_max = 35,28 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 40,72 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 220 + 15/2 = 227,5 mm

الجذع: A_w = 16·220 = 3520 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·227,5 + 3520·110)/7720 = 173,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·15³/12 + 4200·(227,5 − 173,9)² = 1,213 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 16·220³/12 + 3520·(110 − 173,9)² = 2,858 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,213 × 10⁷ + 2,858 × 10⁷ = 4,072 × 10⁷ mm⁴ = 40,72 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 40,72 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 78,4 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

الجذع: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·110 + 1800·50)/7000 = 94,57 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·20³/12 + 5200·(110 − 94,57)² = 1,411 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 18·100³/12 + 1800·(50 − 94,57)² = 5,076 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,411 × 10⁶ + 5,076 × 10⁶ = 6,487 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 120 − 94,57 = 25,43 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·25,43/6,487 × 10⁶ = 78,4 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 78,4 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 27,32 MPa

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 30 − (−20)·0,866 − 40·0,5 = 27,32 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 32,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 60 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 27,32 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 3,693

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 45 MPa, R = 39,05 MPa

σ₁ = 84,05 MPa, σ₂ = 5,949 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(84,05² − 84,05·5,949 + 5,949²) = 81,24 MPa

n = 300/81,24 = 3,693

الإجابة

n = 3,693

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 28,86 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 28,86 mm

الإجابة

δ_max = 28,86 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 63,14 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 14000 N, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

حمل واحد عند L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 31,57 mm

اجمع الحملين

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 63,14 mm

الإجابة

δ_max = 63,14 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 4,094 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·3000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/3000² = 4094 N = 4,094 kN

الإجابة

P_cr = 4,094 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 13,77 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6,25 = 224

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13,77 MPa

الإجابة

σ_cr = 13,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials