مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 30 kNd = 30 mmL = 2,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 90 kNالجزء 1: Ø30 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 25 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 50 kW بسرعة 1000 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 40 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,5° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 50 kWN = 1000 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 26 GPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 1 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2,5 mP = 60 kN عند 1 mw = 5 kN/m من 0 إلى 2,5 m

M_A = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 6 m15 kN @ 2 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 20 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 20 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 80 MPa، σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 90 MPa و σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −50 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 20 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,061 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/706,9 = 42,44 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 42,44/100000 = 0,0004244 = 424,4 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0004244·2500 mm = 1,061 mm

الإجابة

δ = 1,061 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 3,956 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 127,3 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 127,3·1500/100000 = 1,91 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 286,5·500/70000 = 2,046 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,956 mm

الإجابة

δ = 3,956 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 11,49 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(26000·38350) = 0,2006 rad

φ = 0,2006·180/π = 11,49°

الإجابة

φ = 11,49°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 68,04 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 50000/104,7 = 477,5 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 477,5 N·m = 477465 N·mm

d_τ = ∛(16·477465/(π·40)) = 39,32 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·477465/(π·26000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 68,04 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(39,32, 68,04) = 68,04 mm

الإجابة

d = 68,04 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −75,63 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −60·1 = −60 kN·m

w: −5·2,5²/2 = −15,63 kN·m

M_A = −60 − 15,63 = −75,63 kN·m

الإجابة

M_A = −75,63 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 30 kN, R₂ = 90 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 24, M_C = 36, M_D = 21, M_E = −6, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −45 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 10,21 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 140·15 = 2100 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

الجذع: A_w = 16·140 = 2240 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2100·147,5 + 2240·70)/4340 = 107,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 140·15³/12 + 2100·(147,5 − 107,5)² = 3,399 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 16·140³/12 + 2240·(70 − 107,5)² = 6,809 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,399 × 10⁶ + 6,809 × 10⁶ = 1,021 × 10⁷ mm⁴ = 10,21 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 10,21 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 55 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

الجذع: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·305 + 4800·150)/7000 = 198,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·10³/12 + 2200·(305 − 198,7)² = 2,487 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 16·300³/12 + 4800·(150 − 198,7)² = 4,739 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,487 × 10⁷ + 4,739 × 10⁷ = 7,226 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 198,7 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·198,7/7,226 × 10⁷ = 55 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 55 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = 82,98 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = −60/61,85 = −0,9701, sin 2θ_s = −(−15)/61,85 = 0,2425

2θ_s = atan2(15, −60) = 166°

الزاوية على العنصر

θ_s = 82,98°

تحقّق: θ_s − θ_p = 82,98 − (−52,02) = 135°

الإجابة

θ_s = 82,98°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 55 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 5 + 85·0 + −50·−1 = 55 MPa

الإجابة

σ_θ = 55 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 14,49 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 14,49 mm

الإجابة

δ_max = 14,49 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·2000⁴/(384·200000·5,556) = 1,125 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 1,125 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 110,2 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

الإجابة

P_cr = 110,2 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 21,93 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/5 = 300

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

الإجابة

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials