مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 110 GPa). طول كل منهما 800 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 80 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 80 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 105 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من النحاس الأصفر مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 40 mm وطوله 2,5 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 0,8 m. يؤثّر عزم التواء 500 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 15 kW عند 1500 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 60 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 15 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 3 kN/m من 0 إلى 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

10 kN @ 0 m25 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 260 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 80 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 10 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 260 mmh = 80 mmt = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 50 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −10 MPa و σᵧ = 20 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = −10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 10 MPa، σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = 10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 10 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 2 kNw = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 50 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/250. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 1,5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 50 mm

h_req = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,1188 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·4006 = 5,388 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 80000·800/5,388 × 10⁸ = 0,1188 mm

الإجابة

δ = 0,1188 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 334,2 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 213,9 MPa

σ₂ = 334,2 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 334,2 MPa

الإجابة

σ_max = 334,2 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 14,7 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

التواء كل جزء

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 500000·2500/(39000·251327) = 0,1275 rad

φ_BC = 500000·800/(39000·79522) = 0,129 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,1275 + 0,129 = 0,2565 rad = 14,7°

الإجابة

φ_C = 14,7°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 20,09 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 15000/157,1 = 95,49 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·60)) = 20,09 mm

الإجابة

d = 20,09 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 31,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 15·3 − 3·3·1,5 = 31,5 kN·m

الإجابة

M_x = 31,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 6,25 kN, R₂ = 28,75 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −10, M_C = −13,75, M_D = −17,5, M_E = −21,25, M_F = −25 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −25 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 2,049 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 260·10 = 2600 mm², y₁ = 5 mm

الساقان: A₂ = 2·10·70 = 1400 mm², y₂ = 10 + 70/2 = 45 mm

المركز

ȳ = (2600·5 + 1400·45)/4000 = 19 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 260·10³/12 + 2600·(5 − 19)² = 531267 mm⁴

الساقان: 2·10·70³/12 + 1400·(45 − 19)² = 1,518 × 10⁶ mm⁴

I_x = 531267 + 1,518 × 10⁶

I_x = 2,049 × 10⁶ mm⁴ = 2,049 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 2,049 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 114,8 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

الجذع: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·245 + 4320·120)/6120 = 156,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·10³/12 + 1800·(245 − 156,8)² = 1,403 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 18·240³/12 + 4320·(120 − 156,8)² = 2,658 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,403 × 10⁷ + 2,658 × 10⁷ = 4,06 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 250 − 156,8 = 93,24 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·93,24/4,06 × 10⁷ = 114,8 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 114,8 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = 55,28 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, −10 − 20) = 110,6°

الزاوية على العنصر

θ_p = 55,28°

الإجابة

θ_p = 55,28°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 48,99 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = −15 MPa, R = 26,93 MPa

σ₁ = 11,93 MPa, σ₂ = −41,93 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(11,93² − 11,93·(−41,93) + (−41,93)²) = 48,99 MPa

الإجابة

σ_vM = 48,99 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 39,75 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 2000 N, w = 5 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 2000·6000³/(3·2,4 × 10¹³) = 6 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·6000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 33,75 mm

اجمعها

δ = 6 + 33,75 = 39,75 mm

الإجابة

δ = 39,75 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 142,2 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3000⁴/(384·11000·12) = 1,199 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·1,199 × 10⁷/50)^1/3 = 142,2 mm

الإجابة

h_req = 142,2 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 71,97 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1000² = 71966 N = 71,97 kN

الإجابة

P_cr = 71,97 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 38,86 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

الإجابة

σ_cr = 38,86 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials