لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.
المتتاليات والمتسلسلات
متتالية حسابية
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب
R = lim |ck/ck+1|
كثيرة حدود تايلور
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
الطريقة
حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
المصفوفات والمحددات
محدد 2×2
det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج
(AB)ij = Σk AikBkj
القيم الذاتية
det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر
xi = det(Ai)/det(A)
المعادلات التفاضلية
النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2مسائل تدريبية
1.الطرائق العدديةمتوسطة
قرّب ∫02 e−x² dx بقاعدة شبه المنحرف باستخدام n = 2 شريحة. أعطِ T.
f(x) = e−x²[a, b] = [0, 2]n = 2
T =
2.الطرائق العدديةصعبة
استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,25 للمسألة y′ = t + y، y(0) = 3 لتقدير y2 ≈ y(0,5).
y′ = t + yy(0) = 3h = 0,25
y2 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
طبّق اختبار النسبة على Σk=1∞ k!/kᵏ. جد L = lim |ak+1/ak|.
ak = k!/kᵏ
L =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
تُقرَّب f(x) = cos x عند x = 2 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 1، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 0,001.
f(x) = cos xx = 2M = 1ε = 0,001
n =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [−4 5 −3; 3 1 0; 5 −1 3]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام −5x − 6y = 7 و −5x + y = −4. أوجد x.
−5x − 6y = 7−5x + y = −4
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 58 min تكون درجة حرارتها 72 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 24 °CT(58) = 72 °C
k = min⁻¹
8.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 4x2 لـ x > 0، مع y(1) = 5. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = 4x2y(1) = 5
y(3) =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: T = 0,877
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
العقد والقيم
h = 1
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,367879 + 0,0183156 = 1,754075
قاعدة شبه المنحرف
T = (1/2)·1,754075 = 0,877
الإجابة
T = 0,877
ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y2 = 5,066
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات هوين
y₁ = 3 + (0,25/2)(3 + 4) = 3,875
y₂ = 3,875 + (0,25/2)(4,125 + 5,40625) = 5,066406
الرسم البياني
y2 = 5,066
الإجابة
y2 = 5,066
القيمة الدقيقة هي y(0,5) = 5,094885.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: L = 0,3679
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
نسبة الحدود المتتالية
|ak+1/ak| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e
الخلاصة
L = 0,3679 < 1
الإجابة
L = 0,3679
L < 1، فالمتسلسلة تتقارب.
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: n = 9
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
الحدود لقيم n متزايدة
n = 8: 0,001411 ≥ 0,001
n = 9: 0,0002822 < 0,001
أصغر درجة
n = 9
الإجابة
n = 9
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = −33
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = 3, M₁₂ = 9, M₁₃ = −8
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = (−4)·3 − 5·9 + (−3)·(−8) = −33
الإجابة
det A = −33
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = 0,4857
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = (−5)·1 − (−6)·(−5) = −35
استبدل عمود x
det Aₓ = 7·1 − (−6)·(−4) = −17
x = −17/(−35) = 0,4857
الإجابة
x = 0,4857
y = −1,571
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: k = 0,03016 min⁻¹
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
نسبة فروق درجات الحرارة
e−58k = 48/276
حلّ لإيجاد k
k = ln(276/48)/58 = 0,03016 min⁻¹
الإجابة
k = 0,03016 min⁻¹
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(3) = 22,07
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.