الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 280 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1800 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1800 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 3,3 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 3,3 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق صندوق على أرضية مستوية بسرعة ابتدائية 3 m/s ويتوقّف بعد 1,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد معامل الاحتكاك الحركي μ.

v₀ = 3 m/sd = 1,5 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.قوانين نيوتنصعبة

يُدفع جسم فيبدأ الانزلاق إلى أعلى منحدر يميل 30° بسرعة 9,5 m/s. معامل الاحتكاك الحركي 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². ما المسافة d التي ينزلقها على المنحدر قبل أن يتوقّف؟

v₀ = 9,5 m/sθ = 30°μ = 0,15g = 9,81 m/s²

d = m

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 55° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 26 m/sθ = 55°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 15 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد زمن التحليق t حتى ترتطم الكرة بالأرض.

v₀ = 30 m/sθ = 25°h = 15 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تمرّ سيارة فوق قمة نتوء في الطريق، وهو قوس دائري نصف قطره 110 m. استخدم g = 9,81 m/s². فوق أيّ سرعة v_max تغادر العجلات الطريق عند القمة؟

r = 110 mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

كرة كتلتها 1,9 kg مربوطة بخيط خفيف طوله 0,5 m تُدار في دائرة رأسية. عند أدنى نقطة سرعتها 9 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد الشدّ T_top في الخيط عند أعلى نقطة.

m = 1,9 kgr = 0,5 mv_bottom = 9 m/sg = 9,81 m/s²

T_top = N

9.الشغل والطاقةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 60 km/h على طريق مستوٍ تكبح بقوة وتنزلق حتى تتوقّف وعجلاتها مقفلة. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,4. أوجد مسافة التوقّف d.

v = 60 km/hμ = 0,4g = 9,81 m/s²

d = m

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 10 kg من السكون على ارتفاع 1,5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 2000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 10 kgh = 1,5 mL = 3 mμ = 0,25k = 2000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 0,5 kg يتحرك بسرعة 6 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الثاني v′₂ بعد التصادم.

m₁ = 0,5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

سيارة كتلتها 1600 kg تصطدم بسيارة متوقّفة كتلتها 1400 kg. يلتحم الحطامان وينزلقان 20 m قبل التوقّف. معامل الاحتكاك الحركي بين الإطارات والطريق 0,75. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة السيارة الأولى v₁ قبيل التصادم.

m₁ = 1600 kgm₂ = 1400 kgd = 20 mμ = 0,75g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

كتلة مقدارها 0,8 kg على نابض k = 90 N/m تهتز على سطح أملس بسعة 12 cm. أوجد سرعتها v عندما تكون على بعد 5 cm من موضع الاتزان.

m = 0,8 kgk = 90 N/mA = 12 cmx = 5 cm

v = m/s

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2 kg على نابض k = 270 N/m تُسحب 16 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد أقصى سرعة لها v_max.

m = 2 kgk = 270 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

ينتقل الضوء في ماء (n = 1,33) نحو حد فاصل مستوٍ مع الهواء (n = 1,00). جد الزاوية الحرجة θ_c التي يُنعكس بعدها كليًا.

n₁ = 1,33n₂ = 1,00

θ_c = °

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يُظهر محزوز فيه 300 خطًا لكل ميليمتر النهاية العظمى من الرتبة 3 لخط طيفي عند 32,7° عن اتجاه المرور المستقيم. جد الطول الموجي λ للخط.

N = 300 mm⁻¹θ₃ = 32,7°m = 3

λ = nm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 1,68 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v = 280/3,6 = 77,78 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 77,78²/(2·1800) = 1,68 m/s²

الإجابة

a = 1,68 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: d = 48,9 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(3,3 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1132 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1132))/(2·4,905) = 3,157 s

العمق

d = ½·9,81·3,157² = 48,9 m

الإجابة

d = 48,9 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: μ = 0,3058

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

التباطؤ

a = v₀²/(2d) = 3²/(2·1,5) = 3 m/s²

معامل الاحتكاك

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3/9,81 = 0,3058

الإجابة

μ = 0,3058

4.قوانين نيوتن

الإجابة: d = 7,303 m

التباطؤ

القوتان تتجهان إلى أسفل المنحدر؛ وتُختصر الكتلة.

a = 9,81·(sin 30° + 0,15·cos 30°) = 6,179 m/s²

المسافة

d = v₀²/(2a) = 9,5²/(2·6,179) = 7,303 m

الإجابة

d = 7,303 m

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 64,75 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 55° = 14,91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 55° = 21,3 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·21,3/9,81 = 4,342 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 14,91·4,342 = 64,75 m

الإجابة

x = 64,75 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: t = 3,467 s

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 25° = 27,19 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 25° = 12,68 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 15 + 12,68·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12,68 + √(160,7 + 294,3))/9,81 = 3,467 s

الإجابة

t = 3,467 s

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 32,85 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

القوة العمودية صفر

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9,81·110) = 32,85 m/s

الإجابة

v_max = 32,85 m/s

(118,3 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: T_top = 214,6 N

السرعة عند القمة

تتحوّل الطاقة الحركية إلى طاقة وضع على ارتفاع 2r.

v_top² = 9² − 4·9,81·0,5 = 61,38 m²/s²

القوى عند القمة

الشدّ والجاذبية كلاهما يتجهان إلى الأسفل، نحو المركز.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1,9·61,38/0,5 − 1,9·9,81 = 214,6 N

الإجابة

T_top = 214,6 N

9.الشغل والطاقة

الإجابة: d = 35,39 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

السرعة بالوحدات الأساسية

v = 60/3,6 = 16,67 m/s

موازنة الطاقة

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 16,67²/(2·0,4·9,81) = 35,39 m

الإجابة

d = 35,39 m

مضاعفة السرعة تجعل مسافة التوقّف أطول بأربع مرات.

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 27,12 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 98,1·(1,5 − 0,25·3) = 73,58 J

أقصى انضغاط

½kx² = 73,58 → x = √(2·73,58/2000) = 0,2712 m = 27,12 cm

الإجابة

x = 27,12 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₂ = 2,4 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (0,5 − 2)/(0,5 + 2)·6 = −3,6 m/s

v′₂ = 2·0,5/(0,5 + 2)·6 = 2,4 m/s

الإجابة

v′₂ = 2,4 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v₁ = 32,17 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

السرعة بعد التصادم

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,75·9,81·20) = 17,16 m/s

كمية الحركة في التصادم

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3000·17,16/1600 = 32,17 m/s

الإجابة

v₁ = 32,17 m/s

(115,8 km/h)

13.النوابض والبندولات

الإجابة: v = 1,157 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(90/0,8) = 10,61 rad/s

السرعة عند x

v = ω·√(A² − x²) = 10,61·√(0,12² − 0,05²) = 1,157 m/s

الإجابة

v = 1,157 m/s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: v_max = 1,859 m/s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(270/2) = 11,62 rad/s

أقصى سرعة

v_max = A·ω = 0,16·11,62 = 1,859 m/s

الإجابة

v_max = 1,859 m/s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: θ_c = 48,75 °

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

انكسار عند 90°

sin θc = n₂/n₁ = 1,00/1,33 = 0,7519

الزاوية الحرجة

θc = arcsin(0,7519) = 48,75°

الإجابة

θ_c = 48,75°

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: λ = 600,3 nm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

الطول الموجي

λ = d·sin θ/m = 3,333 × 10⁻⁶·sin 32,7°/3 = 600,3 nm

الإجابة

λ = 600,3 nm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics