الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سائقة تسير بسرعة 72 km/h ترى عائقًا. زمن ردّ فعلها 1 s، تكبح السيارة بعده بتباطؤ ثابت 5,5 m/s². أوجد مسافة التوقّف الكلية d من لحظة رؤيتها العائق.

v₀ = 72 km/ht_r = 1 sa = −5,5 m/s²

d = m

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 4,7 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 4,7 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 8 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 20° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 8 kgθ = 20°μ = 0,3g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 9 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 5,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 9 kgm₂ = 5,5 kgμ = 0,3g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بزاوية 65° فوق الأفق وتهبط على بعد 135 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة القذف v₀.

θ = 65°R = 135 mg = 9,81 m/s²

v₀ = m/s

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 50 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 24 m/sθ = 25°h = 50 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

منعطف نصف قطره 300 m مائل بزاوية 18°. بأيّ سرعة v يمكن لسيارة أن تسلكه دون أي حاجة إلى الاحتكاك؟ استخدم g = 9,81 m/s².

r = 300 mθ = 18°g = 9,81 m/s²

v = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 40 m مائل بزاوية 30°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,3. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أدنى سرعة v_min يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى أسفل الميل.

r = 40 mθ = 30°μ_s = 0,3g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 5 kg مسافة 7 m على منحدر يميل بزاوية 40° عن الأفق، بمعامل احتكاك حركي 0,1. أوجد الشغل W_f المبذول ضد الاحتكاك.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0,1d = 7 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 4 kg من السكون على ارتفاع 2 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 1,5 m (μ = 0,25) ثم يصطدم بنابض (k = 5000 N/m) على سطح أملس. أوجد أقصى انضغاط x للنابض.

m = 4 kgh = 2 mL = 1,5 mμ = 0,25k = 5000 N/mg = 9,81 m/s²

x = cm

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3 kg يتحرك بسرعة 12 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 12 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 15 g أفقيًا في كتلة مقدارها 2,5 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,7 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 30° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 15 gM = 2,5 kgL = 0,7 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,7 m زمنه الدوري 6,44 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,7 mT = 6,44 s

g = m/s²

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 3,4 kg على نابض k = 150 N/m تُسحب 16 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 3,4 kgk = 150 N/mA = 16 cm

E = J

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

جسم ارتفاعه 1 cm يقف على بعد 25 cm أمام عدسة لامّة رقيقة بعدها البؤري 10 cm. جد ارتفاع الصورة h_i (سالب للصورة المقلوبة).

h_o = 1 cmd_o = 25 cmf = 10 cm

h_i = cm

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يسقط ضوء طوله الموجي 600 nm على شقين يبعد أحدهما عن الآخر 0,2 mm. الشاشة على بعد 1 m. جد التباعد Δy بين الأهداب المضيئة المتجاورة.

λ = 600 nmd = 0,2 mmL = 1 m

Δy = mm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: d = 56,36 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

الوحدات

v₀ = 72/3,6 = 20 m/s

مسافة ردّ الفعل

d₁ = v₀·t_r = 20·1 = 20 m

مسافة الكبح

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·5,5) = 36,36 m

المجموع

d = 20 + 36,36 = 56,36 m

الإجابة

d = 56,36 m

2.علم الحركة

الإجابة: d = 95,85 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(4,7 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 1612 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·1612))/(2·4,905) = 4,421 s

العمق

d = ½·9,81·4,421² = 95,85 m

الإجابة

d = 95,85 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,5897 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 20° − 0,3·cos 20°) = 9,81·(0,342 − 0,2819) = 0,5897 m/s²

الإجابة

a = 0,5897 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 43,54 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53,96 − 26,49)/14,5 = 1,894 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 9·1,894 + 26,49 = 43,54 N

الإجابة

T = 43,54 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: v₀ = 41,58 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّ صيغة المدى لإيجاد v₀

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9,81·135/sin 130°) = 41,58 m/s

الإجابة

v₀ = 41,58 m/s

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 95,49 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 25° = 21,75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 25° = 10,14 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 50 + 10,14·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,14 + √(102,9 + 981))/9,81 = 4,39 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 21,75·4,39 = 95,49 m

الإجابة

x = 95,49 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v = 30,92 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنة القوى

N·cos θ = m·g, N·sin θ = m·v²/r → tan θ = v²/(r·g)

السرعة

v = √(r·g·tan θ) = √(300·9,81·tan 18°) = 30,92 m/s

الإجابة

v = 30,92 m/s

(111,3 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 9,631 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أعلى المنحدر.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(40·9,81·0,2402/1,016) = 9,631 m/s

الإجابة

v_min = 9,631 m/s

(34,67 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: W_f = 26,3 J

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

قوة الاحتكاك

N = mg·cos θ = 49,05·0,766 = 37,57 N

F = μN = 0,1·37,57 = 3,757 N

الشغل ضد الاحتكاك

W_f = F·d = 3,757·7 = 26,3 J

الإجابة

W_f = 26,3 J

10.الشغل والطاقة

الإجابة: x = 15,97 cm

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 39,24·(2 − 0,25·1,5) = 63,77 J

أقصى انضغاط

½kx² = 63,77 → x = √(2·63,77/5000) = 0,1597 m = 15,97 cm

الإجابة

x = 15,97 cm

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −1,714 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·12 = −1,714 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·12 = 10,29 m/s

الإجابة

v′₁ = −1,714 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 227,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 30°) = 0,09378 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,09378) = 1,356 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 2,515·1,356/0,015 = 227,4 m/s

الإجابة

v = 227,4 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 1,618 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,7/6,44² = 1,618 m/s²

الإجابة

g = 1,618 m/s²

14.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 1,92 J

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = √(150/3,4) = 6,642 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·150·0,16² = 1,92 J

الإجابة

E = 1,92 J

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: h_i = −0,6667 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معادلة العدسة الرقيقة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/25

d_i = 16,67 cm

التكبير والارتفاع

m = −16,67/25 = −0,6667

h_i = −0,6667·1 = −0,6667 cm

الإجابة

h_i = −0,6667 cm

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: Δy = 3 mm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

تباعد الأهداب

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1/(0,2 × 10⁻³) = 3 mm

الإجابة

Δy = 3 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics