الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 80 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 4 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 80 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُقذف كرة رأسيًا إلى الأعلى بسرعة 12 m/s من حافة سطح يرتفع 10 m عن الأرض. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بعد كم من الزمن من القذف تصطدم بالأرض؟ أوجد t.

v₀ = 12 m/sh₀ = 10 mg = 9,81 m/s²

t = s

3.قوانين نيوتنمتوسطة

ينزلق جسم كتلته 17 kg إلى أسفل منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسم a على امتداد المنحدر.

m = 17 kgθ = 25°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 8 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 1,5 kg. معامل الاحتكاك الحركي بين الجسم والطاولة 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع النظام a.

m₁ = 8 kgm₂ = 1,5 kgμ = 0,1g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة من أرض مستوية بسرعة 20 m/s ويجب أن تهبط على بعد 15 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد أصغر زاويتي القذف الممكنتين θ.

v₀ = 20 m/sR = 15 mg = 9,81 m/s²

θ = °

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بزاوية 25° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 25 m. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 24 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 110 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,5. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 110 mμ_s = 0,5g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 160 m مائل بزاوية 12°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,15. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 160 mθ = 12°μ_s = 0,15g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,35. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 18 m على المنحدر.

θ = 25°μ = 0,35d = 18 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

يُترك جسم كتلته 2,5 kg من السكون على ارتفاع 5 m فوق منحدر أملس. في الأسفل يعبر شريطًا أفقيًا خشنًا طوله 3,5 m (μ = 0,15) ثم يصطدم بنابض (k = 1000 N/m) على سطح أملس. أوجد سرعة v الجسم عندما يصل إلى النابض.

m = 2,5 kgh = 5 mL = 3,5 mμ = 0,15k = 1000 N/mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 3 kg يتحرك بسرعة 6 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 4 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 3 kgm₂ = 4 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

عند تقاطع تصطدم سيارة كتلتها 900 kg تسير شرقًا بسرعة 8 m/s بسيارة كتلتها 1900 kg تسير شمالًا بسرعة 11 m/s. تلتحم السيارتان معًا. أوجد اتجاه الحطام θ مباشرةً بعد التصادم، مقيسًا شمال الشرق.

m₁ = 900 kgv₁ = 8 m/s (E)m₂ = 1900 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 0,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 0,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.النوابض والبندولاتصعبة

كتلة مقدارها 2,7 kg على نابض k = 310 N/m تُسحب 15 cm عن موضع الاتزان ثم تُترك. أوجد الطاقة الكلية E للاهتزاز.

m = 2,7 kgk = 310 N/mA = 15 cm

E = J

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

ينعكس الضوء داخل كتلة شفافة كليًا عند الحد الفاصل مع الإيثانول (n = 1,36) لكل زاوية سقوط تزيد على 40°. جد معامل انكسار الكتلة n₁.

θ_c = 40°n₂ = 1,36

n₁ =

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

يمر ضوء طوله الموجي 600 nm عبر شق مفرد عرضه 0,1 mm. جد عرض w النهاية العظمى المضيئة المركزية على شاشة تبعد 3 m (بين الهدبين المظلمين الأولين على الجانبين).

λ = 600 nma = 0,1 mmL = 3 m

w = mm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 61,73 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·4) = 61,73 m

الإجابة

s = 61,73 m

2.علم الحركة

الإجابة: t = 3,103 s

معادلة الحركة

الأعلى موجب، والأرض تحت نقطة البداية بمسافة h₀.

−10 = 12·t − ½·9,81·t²

4,905·t² − 12·t − 10 = 0

حُلّ المعادلة التربيعية

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t = (12 + √(12² + 2·9,81·10))/9,81 = 3,103 s

الإجابة

t = 3,103 s

3.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 3,257 m/s²

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

القوى على امتداد المنحدر

الاتجاه إلى أسفل المنحدر موجب.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

التسارع

a = 9,81·(sin 25° − 0,1·cos 25°) = 9,81·(0,4226 − 0,09063) = 3,257 m/s²

الإجابة

a = 3,257 m/s²

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 0,7228 m/s²

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14,71 − 7,848)/9,5 = 0,7228 m/s²

الإجابة

a = 0,7228 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: θ = 10,79 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

صيغة المدى

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9,81·15/20² = 0,3679

الزاوية

2θ = 21,58° → θ = 10,79°

الإجابة

θ = 10,79°

الحل الآخر 90° − θ = 79,21°.

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 76,5 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 25° = 21,75 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 25° = 10,14 m/s

زمن التحليق

حلّ y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 للجذر الموجب.

0 = 25 + 10,14·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10,14 + √(102,9 + 490,5))/9,81 = 3,517 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 21,75·3,517 = 76,5 m

الإجابة

x = 76,5 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 23,23 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,5·9,81·110) = 23,23 m/s

الإجابة

v_max = 23,23 m/s (83,62 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 24,24 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(160·9,81·0,3546/0,947) = 24,24 m/s

الإجابة

v_max = 24,24 m/s

(87,28 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 6,101 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·18·(0,4226 − 0,35·0,9063)) = 6,101 m/s

الإجابة

v = 6,101 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 9,37 m/s

الطاقة المتبقية بعد الشريط الخشن

المنحدر أملس، لذا الشريط وحده يسلب الطاقة.

mgh − μmgL = 24,53·(5 − 0,15·3,5) = 109,7 J

السرعة عند النابض

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9,81·4,475) = 9,37 m/s

الإجابة

v = 9,37 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −0,8571 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (3 − 4)/(3 + 4)·6 = −0,8571 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 4)·6 = 5,143 m/s

الإجابة

v′₁ = −0,8571 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: θ = 70,99 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

مركّبات كمية الحركة

p_x = 900·8 = 7200 kg·m/s

p_y = 1900·11 = 20900 kg·m/s

الاتجاه

tan θ = p_y/p_x = 2,903 → θ = 70,99°

الإجابة

θ = 70,99°

13.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 1,419 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(0,5/9,81) = 1,419 s

الإجابة

T = 1,419 s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: E = 3,487 J

التردد الزاوي

ω = √(310/2,7) = 10,72 rad/s

الطاقة

E = ½·k·A² = ½·310·0,15² = 3,487 J

الإجابة

E = 3,487 J

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: n₁ = 2,116

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

معامل انكسار الكتلة

n₁ = n₂/sin θc = 1,36/0,6428 = 2,116

الإجابة

n₁ = 2,116

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: w = 36 mm

التداخل والحيود: يصل الضوء من شقين تفصل بينهما المسافة d إلى نقطة على الشاشة بفرق مسار d·sin θ. تظهر الأهداب المضيئة حيث d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). لشاشة على بعد L ≫ d، يقع الهدب المضيء ذو الرتبة m عند y = mλL/d ويكون التباعد بين الأهداب Δy = λL/d. لمحزوز فيه N خطًا لكل ميليمتر d = 1/N ونهايات عظمى حادة عند d·sin θ = mλ؛ ولأن sin θ ≤ 1، فأعلى رتبة هي أكبر عدد صحيح m ≤ d/λ. وللشق المفرد ذي العرض a أهداب مظلمة عند a·sin θ = mλ، m = ±1, ±2, …

الهدب المظلم الأول

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·3/(0,1 × 10⁻³) = 18 mm

عرض النهاية العظمى المركزية

w = 2y₁ = 36 mm

الإجابة

w = 36 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics