الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

سيارة تسير بسرعة 80 km/h تكبح بتباطؤ ثابت مقداره 3 m/s² حتى تتوقف. أوجد مسافة الكبح s.

v₀ = 80 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.علم الحركةصعبة

تُسقَط الكرة A من السكون من ارتفاع 20 m. في اللحظة نفسها تُقذف الكرة B رأسيًا إلى الأعلى من الأرض تحتها مباشرةً بسرعة 24 m/s. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². على أيّ ارتفاع y فوق الأرض تلتقيان؟

H = 20 mv_0B = 24 m/sg = 9,81 m/s²

y = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

صندوق كتلته 15 kg يُدفع إلى أعلى منحدر يميل 30° عن الأفق بسرعة ثابتة، بقوة موازية للمنحدر. معامل الاحتكاك الحركي 0,1. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الدفع F.

m = 15 kgθ = 30°μ = 0,1g = 9,81 m/s²

F = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسمان على أرضية مستوية موصولان بخيط أفقي خفيف. قوة أفقية مقدارها 40 N تسحب الجسم الأمامي ذا الكتلة 1 kg؛ ويُجرّ الجسم ذو الكتلة 9 kg خلفه. معامل الاحتكاك الحركي 0,15 للجسمين كليهما. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد تسارع الجسمين a.

m₁ = 9 kgm₂ = 1 kgF = 40 Nμ = 0,15g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 20° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد أقصى ارتفاع H تبلغه الكرة.

v₀ = 24 m/sθ = 20°g = 9,81 m/s²

H = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُرمى كرة من مستوى الأرض بسرعة 27 m/s وبزاوية 65° فوق الأفق. تهبط على السطح المستوي لمبنى ارتفاعه 2 m، وهي في طريقها إلى الأسفل. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد المسافة الأفقية x من نقطة القذف إلى موضع هبوطها.

v₀ = 27 m/sθ = 65°h_roof = 2 mg = 9,81 m/s²

x = m

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 95 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,7. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 95 mμ_s = 0,7g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 210 m مائل بزاوية 25°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,2. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أعلى سرعة v_max يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى الأعلى والخارج.

r = 210 mθ = 25°μ_s = 0,2g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

ينزلق جسم من السكون على منحدر يميل بزاوية 25° عن الأفق. معامل الاحتكاك الحركي 0,2. أوجد سرعته v بعد أن ينزلق 17 m على المنحدر.

θ = 25°μ = 0,2d = 17 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

10.الشغل والطاقةصعبة

عربة كتلتها 0,5 kg تُترك من السكون على ارتفاع 5,6 m على مسار أملس يؤدي إلى حلقة دائرية رأسية نصف قطرها 2 m. أوجد القوة العمودية N التي يؤثّر بها المسار على العربة عند قمة الحلقة.

m = 0,5 kgh = 5,6 mR = 2 mg = 9,81 m/s²

N = N

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

تُطلق رصاصة كتلتها 5 g أفقيًا في كتلة خشبية مقدارها 2 kg معلّقة بخيوط خفيفة، وتستقر داخلها. تتأرجح الكتلة إلى الأعلى حتى تصبح أعلى بمقدار 23 cm من البداية. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 5 gM = 2 kgh = 23 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

كرة كتلتها 0,45 kg تصطدم بجدار بسرعة 25 m/s وترتد مباشرة إلى الخلف بسرعة 4 m/s. يدوم التلامس 50 ms. أوجد متوسط القوة F_avg التي يؤثر بها الجدار على الكرة.

m = 0,45 kgv_in = 25 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

بندول بسيط طوله 2,5 m. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد زمنه الدوري T للاهتزازات الصغيرة.

L = 2,5 mg = 9,81 m/s²

T = s

14.النوابض والبندولاتصعبة

جسم يهتز حركة توافقية بسيطة بزمن دوري 1,7 s وسعة 16 cm. ما أقصر زمن t يحتاجه للانتقال من أقصى إزاحة له 16 cm إلى إزاحة 11,2 cm؟

T = 1,7 sA = 16 cmx = 11,2 cm

t = s

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

مكبّر صوت صغير يشع قدرة صوتية قدرها 0,2 W بالتساوي في كل الاتجاهات. جد مستوى شدة الصوت β على بعد 5 m.

P = 0,2 Wr = 5 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

جسم على بعد 25 cm أمام مرآة محدبة نصف قطر تقوسها 50 cm. جد بعد الصورة d_i، موجبًا لصورة أمام المرآة (حقيقية) وسالبًا لصورة خلفها (وهمية).

d_o = 25 cmR = 50 cm

d_i = cm

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: s = 82,3 m

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v₀ = 80/3,6 = 22,22 m/s

مسافة الكبح

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22,22²/(2·3) = 82,3 m

الإجابة

s = 82,3 m

2.علم الحركة

الإجابة: y = 16,59 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

زمن الالتقاء

الاتجاه إلى الأعلى موجب، والأرض عند y = 0.

20 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 20/24 = 0,8333 s

ارتفاع الالتقاء

y = 24·0,8333 − ½·9,81·0,8333² = 16,59 m

الإجابة

y = 16,59 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: F = 86,32 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

القوى على امتداد المنحدر

سرعة ثابتة: القوى متوازنة.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

قوة الدفع

F = 73,57 + 12,74 = 86,32 N

الإجابة

F = 86,32 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: a = 2,529 m/s²

النظام كله

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (40 − 14,71)/10 = 2,529 m/s²

الإجابة

a = 2,529 m/s²

5.حركة المقذوفات

الإجابة: H = 3,434 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 20° = 22,55 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 20° = 8,208 m/s

أعلى نقطة

في القمة تكون السرعة الرأسية صفرًا: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 8,208²/(2·9,81) = 3,434 m

الإجابة

H = 3,434 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 55,98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 11,41 m/s, v_y = 24,47 m/s

الزمن حتى الهبوط على السطح

الجذر الأكبر: الكرة نازلة.

2 = 24,47·t − 4,905·t²

t = (24,47 + √(24,47² − 2·9,81·2))/9,81 = 4,906 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 11,41·4,906 = 55,98 m

الإجابة

x = 55,98 m

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 25,54 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,7·9,81·95) = 25,54 m/s

الإجابة

v_max = 25,54 m/s (91,95 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 38,91 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أسفل المنحدر.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(210·9,81·0,6039/0,8218) = 38,91 m/s

الإجابة

v_max = 38,91 m/s

(140,1 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 8,972 m/s

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

موازنة الطاقة على المنحدر

ينخفض الجسم مسافة رأسية d·sin θ بينما يسلب الاحتكاك μmg·cos θ·d. تُختصر الكتلة.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9,81·17·(0,4226 − 0,2·0,9063)) = 8,972 m/s

الإجابة

v = 8,972 m/s

10.الشغل والطاقة

الإجابة: N = 2,943 N

السرعة عند القمة

v² = 2g(h − 2R) = 2·9,81·(5,6 − 4) = 31,39 m²/s²

القوى عند القمة

m·g = 0,5·9,81 = 4,905 N

N = mv²/R − mg = 0,5·31,39/2 − 4,905 = 2,943 N

الإجابة

N = 2,943 N

تكمل العربة الحلقة بالكاد عندما h = 2,5R؛ وعندئذٍ N = 0 عند القمة.

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 851,8 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

التأرجح بعد الاصطدام

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,23) = 2,124 m/s

تصادم

m·v = (m + M)·V → v = (0,005 + 2)·2,124/0,005 = 851,8 m/s

الإجابة

v = 851,8 m/s

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: F_avg = 261 N

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

التغيّر في كمية الحركة

J = m·Δv = 0,45·(4 + 25) = 13,05 N·s

متوسط القوة

F_avg = J/Δt = 13,05/0,05 = 261 N

الإجابة

F_avg = 261 N

13.النوابض والبندولات

الإجابة: T = 3,172 s

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

الزمن الدوري للبندول

T = 2π·√(2,5/9,81) = 3,172 s

الإجابة

T = 3,172 s

14.النوابض والبندولات

الإجابة: t = 0,2152 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

التردد الزاوي

ω = 2π/T = 2π/1,7 = 3,696 rad/s

حلّ لإيجاد الزمن

0,7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,7) = 0,7954 rad

t = 0,7954/3,696 = 0,2152 s

الإجابة

t = 0,2152 s

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: β = 88,04 dB

الموجات: تتحرك الموجة الدورية طولًا موجيًا واحدًا في دور واحد، إذن v = fλ مع T = 1/f. على وتر مشدود v = √(T/μ)، حيث T الشد و μ = m/L الكتلة لكل متر. ينتشر الصوت في الهواء بنحو 343 m/s عند 20 °C، والضوء في الفراغ بـ c = 3,00 × 10⁸ m/s. يُقاس علو الصوت بمقياس لوغاريتمي: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB مع I₀ = 10⁻¹² W/m²، فعشرة أضعاف الشدة تضيف 10 dB. يوزّع مصدر نقطي قدرته P على كرة: I = P/(4πr²).

الشدة

I = P/(4πr²) = 0,0006366 W/m²

المستوى

β = 10·log₁₀(0,0006366/10⁻¹²) = 88,04 dB

الإجابة

β = 88,04 dB

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: d_i = −12,5 cm

البصريات الهندسية: عند الحد الفاصل، n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (قانون سنيل)، وتُقاس الزوايا من العمودي و n = c/v. عند الدخول إلى وسط أبطأ ينكسر الشعاع نحو العمودي. من وسط أكثف (n₁ > n₂) وبعد الزاوية الحرجة θ_c = arcsin(n₂/n₁) ينعكس كل الضوء: انعكاس داخلي كلي. تخضع العدسات الرقيقة والمرايا الكروية لـ 1/f = 1/d_o + 1/d_i مع التكبير m = −d_i/d_o. اصطلاح الإشارات: f > 0 للعدسة اللامّة والمرآة المقعرة (f = R/2)، و f < 0 للعدسة المفرِّقة والمرآة المحدبة؛ و d_i > 0 لصورة حقيقية، و d_i < 0 لصورة وهمية، و m < 0 لصورة مقلوبة.

البعد البؤري

f = −R/2 = −25 cm

معادلة المرآة

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−25) − 1/25

d_i = −12,5 cm

مخطط الأشعة

صورة وهمية خلف المرآة

الإجابة

d_i = −12,5 cm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics