الفيزياء 1: الميكانيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و16 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

علم الحركة

السرعة المتجهة: v = v₀ + a·t
الإزاحة: s = v₀·t + ½·a·t²
دون الزمن: v² = v₀² + 2·a·s
الوحدات: 1 m/s = 3,6 km/h

الطريقة

اذكر ما تعرفه: v₀ و v و a و t و s، مع الوحدات.
اختر المعادلة التي تحتوي معطياتك الثلاثة والمجهول.
اختر اتجاهًا موجبًا واحدًا وأعطِ الكميات المعاكسة إشارة سالبة.
حلّ وتحقّق من أن الإجابة معقولة فيزيائيًا.

قوانين نيوتن

القانون الثاني: ΣF = m·a
الوزن: W = m·g
الاحتكاك الحركي: F_f = μ·N
على منحدر: على امتداد المنحدر: m·g·sin θ، عموديًا عليه: m·g·cos θ

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر مع كل قوة تؤثّر في الجسم.
اختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة.
حلّل القوى إلى مركّبات موازية للحركة وعمودية عليها (على المنحدر: m·g·sin θ موازية، و m·g·cos θ نحو المنحدر).
طبّق ΣF = m·a على امتداد الحركة؛ الاحتكاك μ·N عكس الحركة.

حركة المقذوفات

المركّبات: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
الموضع: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
أقصى ارتفاع: H = h + v_y²/(2g)
المدى (أرض مستوية): R = v₀²·sin 2θ/g

الطريقة

حلّل سرعة الإطلاق إلى مركّبتين: v_x = v₀·cos θ و v_y = v₀·sin θ.
للحركة الأفقية سرعة ثابتة؛ وللحركة الرأسية تسارع −g.
أوجد زمن التحليق من الحركة الرأسية.
استخدم ذلك الزمن في الحركة الأفقية لإيجاد المدى.

الحركة الدائرية

التسارع المركزي: a = v²/r = ω²·r
القوة المركزية: F = m·v²/r
السرعة الزاوية: ω = v/r = 2π/T
منعطف مستوٍ، احتكاك: v_max = √(μ·g·r)

الشغل والطاقة

الطاقة الحركية: E_k = ½mv²
طاقة الوضع: E_p = mgh
موازنة الطاقة: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
شغل الاحتكاك: W = μ·N·d
القدرة: P = W/t

كمية الحركة والتصادمات

كمية الحركة: p = m·v
الحفظ: Σm·v (before) = Σm·v (after)
عديم المرونة تمامًا: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
الدفع: J = F·Δt = m·Δv

الطريقة

اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ كل سرعة إشارتها.
اكتب كمية الحركة الكلية قبل التصادم: Σm·v.
في التصادم غير المرن تمامًا يتحرّك الجسمان معًا بعده؛ وفي التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا.
ساوِ كمية الحركة قبل التصادم بكمية الحركة بعده وحلّ.

النوابض والبندولات

كتلة على نابض: T = 2π·√(m/k)
البندول: T = 2π·√(L/g)
التردد الزاوي: ω = √(k/m) = 2π/T
أقصى سرعة وأقصى تسارع: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
الطاقة: E = ½·k·A²

الموجات والصوت والبصريات

سرعة الموجة: v = fλ, T = 1/f
وتر: v = √(T/μ), μ = m/L
مستوى الصوت: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
مصدر نقطي: I = P/(4πr²)
الموجات الموقوفة: وتر أو أنبوب مفتوح f_n = n·v/(2L)؛ أنبوب مغلق f_n = n·v/(4L)، n فردي
أثر دوبلر: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
معامل الانكسار: n = c/v, λ = λ₀/n
قانون سنيل: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
الزاوية الحرجة: sin θ_c = n₂/n₁
ليف ضوئي: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
العدسات والمرايا: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
شق مزدوج: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
المحزوز: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
الشق المفرد: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

الطريقة

حدد نوع المسألة: سرعة موجة، أو مستوى صوت، أو موجة موقوفة، أو دوبلر، أو انكسار، أو عدسة أو مرآة، أو تداخل.
اكتب العلاقة أولًا: v = fλ، β = 10·log(I/I₀)، fₙ = n·v/(2L) أو n·v/(4L)، f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)، n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂، 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ، d·sin θ = mλ.
حوّل الوحدات: nm و mm و cm إلى m، وتحقق هل تُقاس الزوايا من العمودي.
تحقق من الإشارات ومعقولية النتيجة: الصورة الوهمية لها dᵢ < 0، والمصدر المقترب يبدو أعلى نغمة، والأنبوب المغلق له توافقيات فردية فقط.

2مسائل تدريبية

1.علم الحركةمتوسطة

تحتاج طائرة إلى سرعة 200 km/h للإقلاع وطول المدرج المتاح 1500 m. بدءًا من السكون، ما التسارع الثابت a الذي تحتاجه؟

v₀ = 0v = 200 km/hs = 1500 m

a = m/s²

2.علم الحركةصعبة

يُسقَط حجر من السكون في بئر. يُسمع صوت ارتطامه بالماء بعد 2,9 s من إفلاته. سرعة الصوت 343 m/s؛ أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². أوجد عمق البئر d.

t_total = 2,9 sv_sound = 343 m/sg = 9,81 m/s²

d = m

3.قوانين نيوتنمتوسطة

كتلتان مقدارهما 9,5 kg و 6,5 kg معلّقتان على جانبي بكرة خفيفة عديمة الاحتكاك، موصولتان بخيط خفيف. يُترك النظام من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 9,5 kgm₂ = 6,5 kgg = 9,81 m/s²

T = N

4.قوانين نيوتنصعبة

جسم كتلته 2,5 kg على طاولة أفقية مربوط بخيط خفيف يمر على بكرة ملساء بكتلة معلّقة مقدارها 4,5 kg. الطاولة ملساء. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد قوة الشد T في الخيط.

m₁ = 2,5 kgm₂ = 4,5 kgμ = 0g = 9,81 m/s²

T = N

5.حركة المقذوفاتمتوسطة

تُقذف كرة بزاوية 35° فوق الأفق من أرض مستوية. أهمل مقاومة الهواء. أوجد المسافة الأفقية x التي تقطعها الكرة قبل أن ترتطم بالأرض.

v₀ = 36 m/sθ = 35°g = 9,81 m/s²

x = m

6.حركة المقذوفاتصعبة

تُقذف كرة بسرعة 21 m/s وبزاوية 30° فوق الأفق من قمة جرف ارتفاعه 5 m. أهمل مقاومة الهواء واستخدم g = 9,81 m/s². بأيّ زاوية α تحت الأفق ترتطم بالأرض؟

v₀ = 21 m/sθ = 30°h = 5 mg = 9,81 m/s²

α = °

7.الحركة الدائريةمتوسطة

تسلك سيارة منعطفًا مستويًا نصف قطره 90 m. معامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أقصى سرعة v_max يمكن للسيارة أن تسلك بها المنعطف دون انزلاق.

r = 90 mμ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_max = m/s

8.الحركة الدائريةصعبة

منعطف نصف قطره 280 m مائل بزاوية 25°، ومعامل الاحتكاك السكوني بين الإطارات والطريق 0,4. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أدنى سرعة v_min يمكن لسيارة أن تسلك بها المنعطف دون أن تنزلق إلى أسفل الميل.

r = 280 mθ = 25°μ_s = 0,4g = 9,81 m/s²

v_min = m/s

9.الشغل والطاقةمتوسطة

لقاذف ألعاب نابض رأسي صلابته 1500 N/m. توضع عليه كرة كتلتها 0,2 kg ويُضغط النابض بمقدار 6 cm ثم يُترك. بإهمال مقاومة الهواء وكتلة النابض، أوجد الارتفاع h الذي ترتفعه الكرة، مقيسًا من موضعها عندما كان النابض مضغوطًا.

m = 0,2 kgk = 1500 N/mx = 6 cmg = 9,81 m/s²

h = m

10.الشغل والطاقةصعبة

جسم كتلته 10 kg يستقر على طاولة أفقية خشنة (μ = 0,25). يمتدّ منه خيط خفيف فوق بكرة ملساء عند حافة الطاولة إلى جسم معلّق كتلته 3 kg. يُترك النظام من السكون. أوجد سرعة الجسمين v بعد أن يهبط الجسم المعلّق 2 m.

m₁ = 10 kgm₂ = 3 kgμ = 0,25d = 2 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.كمية الحركة والتصادماتمتوسطة

منزلق كتلته 2 kg يتحرك بسرعة 2 m/s يصطدم تصادمًا مرنًا تمامًا وجهًا لوجه بمنزلق كتلته 2,5 kg ساكن على مسار أملس. أوجد سرعة المنزلق الأول v′₁ بعد التصادم (موجبة في اتجاهه الأصلي).

m₁ = 2 kgm₂ = 2,5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.كمية الحركة والتصادماتصعبة

تُطلق رصاصة كتلتها 10 g أفقيًا في كتلة مقدارها 2 kg معلّقة بخيوط خفيفة طولها 0,7 m، وتستقر فيها. تتأرجح الخيوط حتى أكبر زاوية 35° عن الرأسي. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد سرعة الرصاصة v قبل الاصطدام.

m = 10 gM = 2 kgL = 0,7 mθ = 35°g = 9,81 m/s²

v = m/s

13.النوابض والبندولاتمتوسطة

يجد رائد فضاء على كوكب آخر أن بندولًا بسيطًا طوله 1,7 m زمنه الدوري 6,44 s للتأرجحات الصغيرة. أوجد تسارع الجاذبية g على ذلك الكوكب.

L = 1,7 mT = 6,44 s

g = m/s²

14.النوابض والبندولاتصعبة

تُربط كتلة مقدارها 2,8 kg بالطرف السفلي لنابض رأسي غير ممطوط k = 340 N/m وتُترك من السكون. استخدم g = 9,81 m/s². أوجد أكبر استطالة x_max للنابض بوحدة cm.

m = 2,8 kgk = 340 N/mg = 9,81 m/s²

x_max = cm

15.الموجات والصوت والبصرياتمتوسطة

وتر مثبت من الطرفين طوله 0,5 m؛ وتنتقل الموجات عليه بسرعة 120 m/s. جد التردد f₅ عند التوافقية رقم 5.

v = 120 m/sn = 5L = 0,5 m

f₅ = Hz

16.الموجات والصوت والبصرياتصعبة

مستشعر ساكن يرسل موجات فوق صوتية تردد 30 kHz نحو سيارة تقترب بسرعة 5 m/s ويخلط الصدى بالإشارة المرسَلة. جد تردد الضربات f_b (سرعة الصوت 343 m/s).

f = 30 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3المحاليل

1.علم الحركة

الإجابة: a = 1,029 m/s²

الحركة بتسارع ثابت: v = v₀ + a·t و s = v₀·t + ½·a·t² و v² = v₀² + 2·a·s. اختر المعادلة التي تحتوي على الكميات الثلاث المعلومة والكمية المطلوبة، وحافظ على اتساق الإشارات مع اتجاه موجب واحد.

الوحدات

v = 200/3,6 = 55,56 m/s

التسارع

a = v²/(2s) = 55,56²/(2·1500) = 1,029 m/s²

الإجابة

a = 1,029 m/s²

2.علم الحركة

الإجابة: d = 38,15 m

جزآن من الزمن

½·9,81·t₁² = 343·(2,9 − t₁)

4,905·t₁² + 343·t₁ − 994,7 = 0

زمن السقوط

الجذر الموجب وحده له معنى فيزيائي.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4,905·994,7))/(2·4,905) = 2,789 s

العمق

d = ½·9,81·2,789² = 38,15 m

الإجابة

d = 38,15 m

3.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 75,72 N

قانون نيوتن الثاني: القوة المحصلة على جسم تساوي كتلته مضروبة في تسارعه، ΣF = m·a. ارسم مخطط الجسم الحر، واختر اتجاهًا موجبًا على امتداد الحركة، واجمع كل القوى في ذلك الاتجاه: القوى المؤثرة، والاحتكاك μ·N المعاكس للحركة، ومركّبات الجاذبية.

التسارع

القوة الدافعة المحصّلة هي الفرق بين الوزنين؛ وهي تحرّك الكتلة الكلية.

a = (9,5 − 6,5)·9,81/(9,5 + 6,5) = 1,839 m/s²

الشدّ من الكتلة الأخف

T − m₂·g = m₂·a → T = 6,5·(9,81 + 1,839) = 75,72 N

الإجابة

T = 75,72 N

4.قوانين نيوتن

الإجابة: T = 15,77 N

تسارع النظام

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44,15 − 0)/7 = 6,306 m/s²

قوة الشد من الجسم الموجود على الطاولة

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2,5·6,306 + 0 = 15,77 N

الإجابة

T = 15,77 N

5.حركة المقذوفات

الإجابة: x = 124,1 m

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

السرعة الأفقية ثابتة؛ والحركة الرأسية لها تسارع ثابت g = 9,81 m/s² إلى الأسفل.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 35° = 29,49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 35° = 20,65 m/s

زمن التحليق

الانطلاق والهبوط على الارتفاع نفسه: t = 2v_y/g.

t = 2·20,65/9,81 = 4,21 s

المسافة الأفقية

x = v_x·t = 29,49·4,21 = 124,1 m

الإجابة

x = 124,1 m

6.حركة المقذوفات

الإجابة: α = 38,44 °

حركة المقذوفات: دون مقاومة الهواء x = v_xt و y = h + v_yt − ½gt². الاتجاهان مستقلان، لكنهما يشتركان في الزمن نفسه.

حلّل سرعة الإطلاق

v_x = 21·cos 30° = 18,19 m/s

v_y0 = 21·sin 30° = 10,5 m/s

السرعة الرأسية عند الارتطام

الطاقة أو v² = v₀² + 2as في الاتجاه الرأسي.

v_y = √(10,5² + 2·9,81·5) = 14,43 m/s

زاوية الارتطام

tan α = v_y/v_x = 14,43/18,19 → α = 38,44°

الإجابة

α = 38,44°

7.الحركة الدائرية

الإجابة: v_max = 18,79 m/s

الحركة الدائرية المنتظمة: الجسم الذي يتحرك بسرعة v على دائرة نصف قطرها r يتسارع نحو المركز بـ a = v²/r، لذا يحتاج إلى قوة محصلة نحو الداخل F = m·v²/r. وهذه القوة يوفّرها مؤثر حقيقي: الاحتكاك أو الشد أو الجاذبية أو القوة العمودية.

الاحتكاك يوفّر القوة المركزية

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0,4·9,81·90) = 18,79 m/s

الإجابة

v_max = 18,79 m/s (67,65 km/h)

8.الحركة الدائرية

الإجابة: v_min = 12,39 m/s

موازنات القوى

يتجه الاحتكاك إلى أعلى المنحدر.

N·(sin θ − μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ + μ·sin θ) = m·g

السرعة

v = √(280·9,81·0,0601/1,075) = 12,39 m/s

الإجابة

v_min = 12,39 m/s

(44,6 km/h)

9.الشغل والطاقة

الإجابة: h = 1,376 m

مبدأ الشغل والطاقة: التغيّر في الطاقة الحركية يساوي شغل جميع القوى. كتابة الجاذبية والنوابض كطاقة وضع (mgh و ½kx²) يحوّل ذلك إلى موازنة: الطاقة الابتدائية = الطاقة النهائية + الطاقة المفقودة بالاحتكاك (μN·d).

طاقة النابض

x = 6 cm = 0,06 m

½kx² = ½·1500·0,06² = 2,7 J

الارتفاع

m·g = 0,2·9,81 = 1,962 N

h = ½kx²/(mg) = 2,7/1,962 = 1,376 m

الإجابة

h = 1,376 m

10.الشغل والطاقة

الإجابة: v = 1,229 m/s

الطاقة المحرَّرة والمفقودة

m₂g·d = 29,43·2 = 58,86 J

μ·m₁g·d = 0,25·98,1·2 = 49,05 J

الطاقة الحركية للجسمين

½(m₁ + m₂)v² = 9,81 → v = √(2·9,81/13) = 1,229 m/s

الإجابة

v = 1,229 m/s

11.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v′₁ = −0,2222 m/s

حفظ كمية الحركة: عندما لا تؤثر قوة خارجية أثناء التصادم، تساوي كمية الحركة الكلية Σm·v قبل التصادم نظيرتها بعده. للسرعات اتجاه، لذا اختر اتجاهًا موجبًا وأعطِ السرعات في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة. في التصادم المرن تُحفظ الطاقة الحركية أيضًا؛ وفي التصادم عديم المرونة تمامًا يلتحم الجسمان.

تصادم مرن مع هدف ساكن

حلّ معادلتي حفظ كمية الحركة والطاقة معًا يعطي هاتين النتيجتين.

v′₁ = (2 − 2,5)/(2 + 2,5)·2 = −0,2222 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 2,5)·2 = 1,778 m/s

الإجابة

v′₁ = −0,2222 m/s

الإشارة السالبة تعني أن المنزلق الأول يرتد إلى الخلف.

12.كمية الحركة والتصادمات

الإجابة: v = 316,8 m/s

ارتفاع الكتلة

h = L·(1 − cos θ) = 0,7·(1 − cos 35°) = 0,1266 m

السرعة بعد الاصطدام

V = √(2·9,81·0,1266) = 1,576 m/s

تصادم

v = (m + M)·V/m = 2,01·1,576/0,01 = 316,8 m/s

الإجابة

v = 316,8 m/s

13.النوابض والبندولات

الإجابة: g = 1,618 m/s²

الحركة التوافقية البسيطة: كتلة m على نابض صلابته k تهتز بتردد زاوي ω = √(k/m) وزمن دوري T = 2π/ω = 2π·√(m/k). وللبندول البسيط الذي طوله L يكون T = 2π·√(L/g). وبسعة A، تكون أقصى سرعة A·ω، وأقصى تسارع A·ω²، والطاقة ½·k·A².

حلّ لإيجاد g

g = 4π²·L/T² = 4π²·1,7/6,44² = 1,618 m/s²

الإجابة

g = 1,618 m/s²

14.النوابض والبندولات

الإجابة: x_max = 16,16 cm

الاتزان والسعة

x₀ = m·g/k = 2,8·9,81/340 = 0,08079 m = A

أدنى نقطة

x_max = 2A = 0,1616 m = 16,16 cm

الإجابة

x_max = 16,16 cm

15.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: f₅ = 600 Hz

الموجات الموقوفة وأثر دوبلر: الوتر المثبت من الطرفين، أو الأنبوب المفتوح من الطرفين، يتسع لأنصاف أطوال موجية كاملة: L = nλ/2، f_n = n·v/(2L)، n = 1, 2, 3, … للأنبوب المغلق من طرف واحد عقدة عند الطرف المغلق وبطن عند الطرف المفتوح: L = nλ/4 مع n فردي فقط، f_n = n·v/(4L). عندما يتحرك المصدر أو المراقب على الخط الواصل بينهما، f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): استخدم الإشارات العليا للحركة الواحد نحو الآخر. موجتان متقاربتا التردد تُحدثان ضربات بتردد |f₁ − f₂|.

الطول الموجي لهذا النمط

λ = 2L/n = 2·0,5/5 = 0,2 m

التردد

f = v/λ = 120/0,2 = 600 Hz

الإجابة

f₅ = 600 Hz

16.الموجات والصوت والبصريات

الإجابة: f_b = 887,6 Hz

التردد عند السيارة

f′ = 30000·(343 + 5)/343 = 30437 Hz

تردد الصدى

f″ = f′·343/(343 − 5) = 30888 Hz

تردد الضربات

f_b = |f″ − f| = 887,6 Hz

الإجابة

f_b = 887,6 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics