طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (1, 3, −3) و b = (−1, k, 6) متعامدين.
a = (1, 3, −3)b = (−1, k, 6)
k =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
تؤثّر قوة F = (10, −10, 60) N عند النقطة A(−3, −2, −1). الإحداثيات بالمتر. أوجد المركّبة x Mx لعزم القوة حول النقطة O(2, 2, 2).
F = (10, −10, 60) NA(−3, −2, −1) mO(2, 2, 2) m
Mx = N·m
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w من الجدار حتى 4,5 m وحملًا مركّزًا P على بعد 5,5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.
L = 6 mP = 70 kN عند 5,5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 4,5 m
MA = kN·m
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 7 m من A، مائلًا بزاوية 50° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 3 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية RA عند المسمار A.
L = 10 mP = 10 kN عند 7 m, θ = 50°Q = 55 kN عند 3 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kN
FBC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.
B: 30 kN ↓F: 30 kN →G: 35 kN ↓
1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 1,2 m. يتدلى حمل 15 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.
P = 15 kNAD = 0,6 mAB = 2 mAC = 1,2 m
A = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 0,5 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 1 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 15 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة FCD في الدعامة.
w = 1 kN/mP = 15 kNAD = 1,5 mAB = 2,5 mAC = 0,5 m
FCD = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M0 = 10 kN·m عند x = 3,5 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء Mx يسار الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 5 mM0 = 10 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 3,5 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد عزم الانحناء MB عند الركيزة B. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 7 mw = 6 kN/m من 0 إلى 7 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m
MB = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
لوح أبعاده 150 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 60 MPa في الشد و 100 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة.
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي يساوي صفرًا
a·b = 1·(−1) + 3·k + (−3)·6 = 0
−19 + 3·k = 0
حلّ لإيجاد k
k = −(−19)/3 = 6,333
الإجابة
k = 6,333
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: Mx = −270 N·m
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
متّجه الموضع من O إلى A
r = A − O = (−3, −2, −1) − (2, 2, 2) = (−5, −4, −3) m
اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.
محصّلة الحمل الموزّع
W = 8·4,5 = 36 kN, x̄ = 2,25 m
العزم حول الجدار
MA = P·a + W·x̄ = 70·5,5 + 36·2,25 = 466 kN·m
الإجابة
MA = 466 kN·m
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 41,3 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مركّبتا P
Pv = 10·sin 50° = 7,66 kN
Ph = 10·cos 50° = 6,428 kN
ردود الأفعال
ΣMA = 0: RB·10 = 7,66·7 + 55·3 → RB = 21,86 kN
Ay = 7,66 + 55 − 21,86 = 40,8 kN
Ax = Ph = 6,428 kN
المحصّلة عند A
RA = √(6,428² + 40,8²) = 41,3 kN
الإجابة
RA = 41,3 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FBC = −53,81 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 55·7 → Cy = 48,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 48,13 = 6,875 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.
العقدة D
يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
تحقق بطريقة العقد
حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
قوة الدعامة
FCD = 15·2/(0,8944·0,6) = 55,9 kN
المركّبتان عند A
Ax = FCD·cos α = 25 kN (نحو الجدار)
Ay = 15 − FCD·sin α = −35 kN
المقدار
A = √(25² + −35²) = 43,01 kN
الإجابة
A = 43,01 kN
القيمة السالبة لـ Ay تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.
8.الإطارات والآلات
الإجابة: FCD = 85,65 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
محصلة الحمل المنتظم
w·L = 1·2,5 = 2,5 kN عند 1,25 m
العزوم حول A للعارضة
FCD·0,3162·1,5 = 2,5·1,25 + 15·2,5 = 40,63 kN·m
FCD = 85,65 kN
الإجابة
FCD = 85,65 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = −7 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.
ردود أفعال الركائز
العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: RB·L − M0 = 0. الاتزان الرأسي: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 10/5 = 2 kN (إلى الأعلى)
RA = −RB = −2 kN (إلى الأسفل)
اقطع يسار الازدواج مباشرةً
يحتوي الجزء الأيسر على RA فقط.
Mx = RA·a = −2·3,5 = −7 kN·m
الإجابة
Mx = −7 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: MB = −12 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·7 = 42 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 6·7·3,5
RB = 147/5 = 29,4 kN
ΣFy = 0: RA = 42 − 29,4 = 12,6 kN
اقطع عند B واحتفظ بالجزء البارز
الحمل على الجزء البارز، w·a، يؤثّر على بعد a/2 من B ويجعل الكمرة تتحدّب فوق الركيزة.
MB = −w·a²/2 = −6·2²/2 = −12 kN·m
الإجابة
MB = −12 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (45000·150 − 706,9·120)/(45000 − 706,9) = 150,5 mm
اللوح الكامل حول ȳ
150·300³/12 + 45000·−0,4788² = 337,5 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·−30,48² = 0,6964 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Mallow = 5,812 kN·m
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.