الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (6, −6, 0) و b = (−2, 5, −2)، بالدرجات.

a = (6, −6, 0)b = (−2, 5, −2)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzabc

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (−3, 2, −2) و b = (−1, 0, −1) و c = (5, −3, −2).

a = (−3, 2, −2)b = (−1, 0, −1)c = (5, −3, −2)
V =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNABRA​ = ?RB​2 m1 m3 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 6 mP1 = 45 kN عند 2 mP2 = 10 kN عند 3 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​ = ?RB​3 m1 m4 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 8 mP = 10 kN عند 4 mw = 4 kN/m من 0 إلى 3 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH30 kN35 kN30 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 30 kN ↓D: 35 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB20 kN20 kN6 m5 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 20 kN ←
FBC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
OAB100 NQ100 mm120 mmFO​ = ?

تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 100 N عند A (على بُعد 100 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 120 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.

F = 100 NOA = 100 mmOB = 120 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
F = ?2500 N12 mmABC

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 200 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 12 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 2500 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 2500 NAB = BC = 200 mmh = 12 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 2 kN/mABمقطع0,5 m5,5 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 0,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 2 kN/m من 0 إلى 6 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 12 kN/mAB2 m3 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 5 mw = 12 kN/m من 2 إلى 5 m
Mmax = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
150 mm240 mm168 mmØ60xIx​ = ?

لوح أبعاده 150 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 60 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 168 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 240 mmd = 60 mmمركز الثقب: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
1002028014xM = 50 kN·mالأبعاد بالـ mm

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σالأسفل عند الحافة السفلية.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 280 mmM = 50 kN·m
σالأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 149,5 °

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 6·(−2) + (−6)·5 + 0·(−2) = −42

المقداران

|a| = √(6² + (−6)² + 0²) = 8,485
|b| = √((−2)² + 5² + (−2)²) = 5,745

الزاوية

cos θ = −42/(8,485·5,745) = −0,8616
θ = arccos(−0,8616) = 149,5°

الإجابة

θ = 149,5°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 11

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = 0·(−2) − (−1)·(−3) = −3
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−1)·5 − (−1)·(−2) = −7
(b × c)z = bxcy − bycx = (−1)·(−3) − 0·5 = 3

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = (−3)·(−3) + 2·(−7) + (−2)·3 = −11
V = |−11| = 11

الإجابة

V = 11
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 35 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 45 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​2 m1 m3 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·6 = 45·2 + 10·3
RB = 120/6 = 20 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 20 = 35 kN

الإجابة

RA = 35 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 14,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​RB​3 m1 m4 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 1,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 10·4 + 4·3·1,5
RB = 58/8 = 7,25 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 7,25 = 14,75 kN

الإجابة

RA = 14,75 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 34,69 kN (T), BC: 46,87 kN (T), CD: 46,87 kN (T), DE: 36,56 kN (T), FG: 34,69 kN (C), GH: 36,56 kN (C), AF: 57,81 kN (C), HE: 60,94 kN (C), BF: 46,25 kN (T), CG: 0, DH: 48,75 kN (T), BG: 20,31 kN (C), DG: 17,19 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FBC = −11,18 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB20 kN20 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·6 = 20·5 − 20·2 → Cy = 10 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 10 = 10 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −10/0,8944 = −11,18 kN

الإجابة

FBC = −11,18 kN (ضغط)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: FO = 130,2 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

القوة عند B

Q = 100·100/120 = 83,33 N

رد فعل المسمار

Ox = 83,33 N, Oy = 100 N
FO = √(83,33² + 100²) = 130,2 N

الإجابة

FO = 130,2 N
8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 300,5 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 12/200 = 0,06, θ = 3,44°

قوة الذراع

Flink = Q/cos θ = 2505 N

القوة عند B

F = 2·Flink·sin θ = 2·2500·tan θ = 300,5 N

الإجابة

F = 300,5 N
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 2,75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 2·6·3
RB = 36/6 = 6 kN
ΣFy = 0: RA = 12 − 6 = 6 kN
w = 2 kN/mABRA​ = 6RB​ = 6مقطع0,5 m5,5 m

اقطع عند x = 0,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 6·0,5 − 2·0,5·0,25 = 2,75 kN·m

الإجابة

Mx = 2,75 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 26,46 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·3·3,5
RB = 126/5 = 25,2 kN
ΣFy = 0: RA = 36 − 25,2 = 10,8 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند RA، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 10,8/12 = 2,9 m

أقصى عزم

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 10,8·2,9 − 12·0,9²/2 = 26,46 kN·m

الإجابة

Mmax = 26,46 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 165,1 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (36000·120 − 2827·168)/(36000 − 2827) = 115,9 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·240³/12 + 36000·4,091² = 173,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·60⁴/64 + 2827·52,09² = 8,308 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 165,1 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 165,1 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σالأسفل = 171,9 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
الجذع: Aw = 14·280 = 3920 mm², yw = 280/2 = 140 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·290 + 3920·140)/5920 = 190,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·20³/12 + 2000·(290 − 190,7)² = 1,98 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 14·280³/12 + 3920·(140 − 190,7)² = 3,568 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,98 × 10⁷ + 3,568 × 10⁷ = 5,547 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 190,7 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁷·190,7/5,547 × 10⁷ = 171,9 MPa

الإجابة

σالأسفل = 171,9 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics