الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد المسقط القياسي compb a لـ a = (7, −4, −6) على b = (−4, 3, 5)، أي مركّبة a في اتجاه b.

a = (7, −4, −6)b = (−4, 3, 5)
compb a =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzab

للمتّجهين a = (−2, 2, 2) و b = (−1, 4, 3)، أوجد المركّبة x (a × b)x للضرب الاتجاهي a × b.

a = (−2, 2, 2)b = (−1, 4, 3)
(a × b)x =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w0​ = 20 kN/mABRA​ = ?6 m

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا يرتفع من الصفر عند A إلى 20 kN/m عند B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 6 mw0 = 20 kN/m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 6 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​1,5 m0,5 m2 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 4 mP = 60 kN عند 1,5 mw = 6 kN/m من 2 إلى 4 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH10 kN4 × 4 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

G: 10 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB20 kN30 kN4 m1 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 30 kN ←
FBC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
200 NQ = ?12°ABC

في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 12° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 200 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.

F = 200 Nθ = 12°
Q = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
5 kN3,2 m0,8 m1,2 mABCDE

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3,2 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m. تؤثر قوة أفقية 5 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 5 kNAB = 3,2 mارتفاع C = 2 mارتفاع DE = 0,8 m
T = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 70 kNP2​ = 25 kNABC1 m3 m2 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP1 = 70 kN عند 1 mP2 = 25 kN عند 6 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m
Mx = kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 24 kN/mAB1 m2 m1 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد المسافة x0 من A إلى المقطع الذي يكون عنده عزم الانحناء أكبر ما يمكن.

L = 4 mw = 24 kN/m من 1 إلى 3 m
x0 = m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
120 mm300 mm210 mmØ40xIx​ = ?

لوح أبعاده 120 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 210 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2601518012xM = 25 kN·mالأبعاد بالـ mm

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 25 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σالأعلى عند الحافة العلوية.

bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 180 mmM = 25 kN·m
σالأعلى = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: compb a = −9,899

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 7·(−4) + (−4)·3 + (−6)·5 = −70

طول b

|b| = √((−4)² + 3² + 5²) = 7,071

المسقط القياسي

compb a = a·b/|b| = −70/7,071 = −9,899

الإجابة

compb a = −9,899

سالب: لـ a مركّبة تشير عكس b.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: (a × b)x = −2

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة

(a × b)x = aybz − azby = 2·3 − 2·4 = −2
(a × b)y = azbx − axbz = 2·(−1) − (−2)·3 = 4
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·4 − 2·(−1) = −6

المركّبة المطلوبة

(a × b)x = −2

الإجابة

(a × b)x = −2

تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 20 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·20·6 = 60 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·6 = 60·4
RB = 40 kN
RA = 60 − 40 = 20 kN

الإجابة

RA = 20 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 40,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 6 kN/mP = 60 kNABRA​RB​1,5 m0,5 m2 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·2 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·4 = 60·1,5 + 6·2·3
RB = 126/4 = 31,5 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 31,5 = 40,5 kN

الإجابة

RA = 40,5 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 6,667 kN (T), BC: 13,33 kN (T), CD: 13,33 kN (T), DE: 6,667 kN (T), FG: 6,667 kN (C), GH: 6,667 kN (C), AF: 8,333 kN (C), HE: 8,333 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 8,333 kN (C), DG: 8,333 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FBC = 18,03 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB20 kN30 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·1 − 30·2 → Cy = −10 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − −10 = 30 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/3,606 = 0,5547, cos γ = 3/3,606 = 0,8321
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−10/0,5547 = 18,03 kN

الإجابة

FBC = 18,03 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: Q = 470,5 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

اتزان المسمار B

2·Flink·sin 12° = 200
Flink = 481 N

قوة الإطباق

Q = Flink·cos 12° = 200/(2·tan 12°) = 470,5 N

الإجابة

Q = 470,5 N

نسبة القوى Q/F = 2,352 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 4,167 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

By·3,2 = 5·2
By = 3,125 kN

الساق BC: العزوم حول C

3,125·1,6 = T·1,2
T = 4,167 kN

الإجابة

T = 4,167 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 40 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·1 + 25·6
RB = 220/4 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 55 = 40 kN

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

Mx = RA·1 = 40·1 = 40 kN·m

الإجابة

Mx = 40 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x0 = 2 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 24·2·2
RB = 96/4 = 24 kN
ΣFy = 0: RA = 48 − 24 = 24 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند RA، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 24/24 = 2 m

الإجابة

x0 = 2 m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 265,2 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (36000·150 − 1257·210)/(36000 − 1257) = 147,8 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·300³/12 + 36000·2,17² = 270,2 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·62,17² = 4,983 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 265,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 265,2 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σالأعلى = 55,25 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 180 + 15/2 = 187,5 mm
الجذع: Aw = 12·180 = 2160 mm², yw = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·187,5 + 2160·90)/6060 = 152,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·15³/12 + 3900·(187,5 − 152,7)² = 4,783 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 12·180³/12 + 2160·(90 − 152,7)² = 1,434 × 10⁷ mm⁴
Ix = 4,783 × 10⁶ + 1,434 × 10⁷ = 1,912 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 195 − 152,7 = 42,25 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·42,25/1,912 × 10⁷ = 55,25 MPa

الإجابة

σالأعلى = 55,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics