الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (4, 6, −6) و b = (−4, 4, 6)، بالدرجات.

a = (4, 6, −6)b = (−4, 4, 6)

θ = °

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (0, 4, −3) و b = (−2, 5, 3) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته x n̂_x.

a = (0, 4, −3)b = (−2, 5, 3)n̂_z > 0

n̂_x =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 4,5 m من A وازدواجًا عكس عقارب الساعة M على بعد 2 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 6 mP = 35 kN عند 4,5 mM = 25 kN·m (عكس عقارب الساعة) عند 2 m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 3 m من A، مائلًا بزاوية 60° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 7 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية R_A عند المسمار A.

L = 10 mP = 40 kN عند 3 m, θ = 60°Q = 60 kN عند 7 m

R_A = kN

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kNالحمل الأفقي = 20 kN ←

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 0,8 m. يتدلى حمل 4 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 4 kNAD = 1,2 mAB = 4 mAC = 0,8 m

A = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 1,5 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 2,5 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 4 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة F_CD في الدعامة.

w = 2,5 kN/mP = 4 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 1,5 m

F_CD = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 4 m8 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 30 kN عند 3 mw = 4 kN/m من 0 إلى 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 200 mmM = 50 kN·m

σ_الأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: θ = 111,2 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الضرب القياسي

a·b = 4·(−4) + 6·4 + (−6)·6 = −28

المقداران

|a| = √(4² + 6² + (−6)²) = 9,381

|b| = √((−4)² + 4² + 6²) = 8,246

الزاوية

cos θ = −28/(9,381·8,246) = −0,362

θ = arccos(−0,362) = 111,2°

الإجابة

θ = 111,2°

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_x = 0,9377

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 4·3 − (−3)·5 = 27

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = (−3)·(−2) − 0·3 = 6

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 0·5 − 4·(−2) = 8

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b موجبة أصلًا.

|a × b| = √(27² + 6² + 8²) = 28,79

n̂ = (27, 6, 8)/28,79 = (0,9377, 0,2084, 0,2779)

n̂_x = 0,9377

الإجابة

n̂_x = 0,9377

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 22,08 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·6 − 35·4,5 + 25 = 0

R_B = 132,5/6 = 22,08 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 35 − 22,08 = 12,92 kN

الإجابة

R_B = 22,08 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 46,74 kN

مركّبتا P

P_v = 40·sin 60° = 34,64 kN

P_h = 40·cos 60° = 20 kN

ردود الأفعال

ΣM_A = 0: R_B·10 = 34,64·3 + 60·7 → R_B = 52,39 kN

A_y = 34,64 + 60 − 52,39 = 42,25 kN

A_x = P_h = 20 kN

المحصّلة عند A

R_A = √(20² + 42,25²) = 46,74 kN

الإجابة

R_A = 46,74 kN

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −32,05 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 40·2 → C_y = 13,33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 13,33 = 26,67 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −26,67/0,8321 = −32,05 kN

الإجابة

F_AB = −32,05 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 3,333 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 − 20·3 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 10 = 10 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,9487 = −10,54 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−10,54)·0,3162 = 3,333 kN

الإجابة

F_AC = 3,333 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 22,07 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

F_CD = 4·4/(0,5547·1,2) = 24,04 kN

المركّبتان عند A

A_x = F_CD·cos α = 20 kN (نحو الجدار)

A_y = 4 − F_CD·sin α = −9,333 kN

المقدار

A = √(20² + −9,333²) = 22,07 kN

الإجابة

A = 22,07 kN

القيمة السالبة لـ A_y تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F_CD = 12,48 kN

محصلة الحمل المنتظم

w·L = 2,5·1,5 = 3,75 kN عند 0,75 m

العزوم حول A للعارضة

F_CD·0,8824·0,8 = 3,75·0,75 + 4·1,5 = 8,813 kN·m

F_CD = 12,48 kN

الإجابة

F_CD = 12,48 kN

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 38,33 kN, R₂ = 46,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 34,33, M_C = 60,67, M_D = 79, M_E = 89,33 kN·m, M_F = 46,67, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 89,33 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 86,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·3 + 4·8·4

R_B = 218/8 = 27,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 27,25 = 34,75 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 34,75·3 − 4·3·1,5 = 86,25 kN·m

الإجابة

M_x = 86,25 kN·m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 84,43 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

الجذع: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·275 + 4680·130)/11280 = 214,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·30³/12 + 6600·(275 − 214,8)² = 2,438 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 18·260³/12 + 4680·(130 − 214,8)² = 6,005 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,438 × 10⁷ + 6,005 × 10⁷ = 8,443 × 10⁷ mm⁴ = 84,43 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 84,43 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 251,2 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

الجذع: A_w = 18·200 = 3600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·205 + 3600·100)/6200 = 144 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·10³/12 + 2600·(205 − 144)² = 9,686 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 18·200³/12 + 3600·(100 − 144)² = 1,898 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,686 × 10⁶ + 1,898 × 10⁷ = 2,867 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 144 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·144/2,867 × 10⁷ = 251,2 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 251,2 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics