الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (7, −1, 0) و b = (−2, 4, −2).

a = (7, −1, 0)b = (−2, 4, −2)

a·b =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(1, 3, 2) و B(−4, −2, 2) و C(−3, 1, 3). الإحداثيات بالمتر.

A(1, 3, 2)B(−4, −2, 2)C(−3, 1, 3)

A = m²

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا ينخفض من 4 kN/m عند A إلى الصفر عند B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 10 mw₀ = 4 kN/m

R_B = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 2 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 6 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 5 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 2 mAD = 6 mP = 15 kN عند 5 mw = 5 kN/m من 2 إلى 6 m

M_A = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kNالحمل الأفقي = 15 kN ←

F_AB = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4,8 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 4 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 2 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 2 kNAB = 4,8 mارتفاع C = 4 mارتفاع DE = 1,8 m

C = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 5 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 3,6 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m. تؤثر قوة أفقية 20 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 20 kNAB = 5 mارتفاع C = 3,6 mارتفاع DE = 0,8 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 2 m4 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 7 mw = 5 kN/m من 0 إلى 7 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m

x_c = m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 156 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 240 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 40 MPa في الشد و 150 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 120 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = −18

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = 7·(−2) + (−1)·4 + 0·(−2) = (−14) + (−4) + 0 = −18

الإجابة

a·b = −18

سالب: الزاوية بين المتّجهين أكبر من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 6,124 m²

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (−5, −5, 0)

AC = C − A = (−4, −2, 1)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = (−5)·1 − 0·(−2) = −5

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 0·(−4) − (−5)·1 = 5

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = (−5)·(−2) − (−5)·(−4) = −10

|AB × AC| = √((−5)² + 5² + (−10)²) = 12,25

مساحة المثلث

A = ½·12,25 = 6,124 m²

الإجابة

A = 6,124 m²

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 6,667 kN

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·4·10 = 20 kN

x̄ = L/3 = 3,333 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·3,333

R_B = 6,667 kN

R_A = 20 − 6,667 = 13,33 kN

الإجابة

R_B = 6,667 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 27,5 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 5·4 = 20 kN عند 2 m من C

ΣM_C = 0: R_D·4 = 15·3 + 20·2

R_D = 21,25 kN

V_C = 35 − 21,25 = 13,75 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 13,75 = 13,75 kN

M_A = 13,75·2 = 27,5 kN·m

الإجابة

M_A = 27,5 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 20 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 45·2 → C_y = 15 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 15 = 30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −15/0,6 = −25 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25)·0,8 = 20 kN

الإجابة

F_AC = 20 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −17,92 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 10·1 − 15·3 → C_y = −7 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − −7 = 17 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −17/0,9487 = −17,92 kN

الإجابة

F_AB = −17,92 kN (ضغط)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 1,48 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الرباط من الساق BC

B_y = 1 kN

T = 1·2,4/2,2 = 1,091 kN

مركّبتا قوة المسمار على BC

C_x = T = 1,091 kN, C_y = −B_y = −1 kN

المقدار

C = √(1,091² + 1²) = 1,48 kN

الإجابة

C = 1,48 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 12,86 kN

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y·5 = 20·3,6

B_y = 14,4 kN

الساق BC: العزوم حول C

14,4·2,5 = T·2,8

T = 12,86 kN

الإجابة

T = 12,86 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 35,33 kN, R₂ = 23,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 62,67 kN·m, M_D = 53, M_E = 39,33, M_F = 21,67, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 62,67 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 5,833 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·7 = 35 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 5·7·3,5

R_B = 122,5/6 = 20,42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 20,42 = 14,58 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·14,58/5 = 5,833 m

الإجابة

x_c = 5,833 m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (48000·120 − 1257·156)/(48000 − 1257) = 119 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·240³/12 + 48000·0,9678² = 230,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·36,97² = 1,843 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 228,6 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 6,235 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (1200·145 + 2520·70)/3720 = 94,19 mm

الحافة العلوية: c = 150 − 94,19 = 55,81 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 120·10³/12 + 1200·50,81² + 18·140³/12 + 2520·24,19² = 8,699 × 10⁶ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 40·8,699 × 10⁶/55,81 = 6,235 kN·m

الحافة السفلية: M = 150·8,699 × 10⁶/94,19 = 13,85 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 6,235 kN·m (الحافة العلوية)

الإجابة

M_allow = 6,235 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics