الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
متّجه الوحدة: û = a/|a|
المركّبات من زاوية: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b: a·b/|b|
الشغل: W = F·d
الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
المساحات: متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O: M_O = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح: V = |a·(b × c)|

الطريقة

اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة: القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار: متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار: F = √(F_x² + F_y²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية: F_in·a = F_out·b
آلية المفصل الركبي: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣF_x = 0 وΣF_y = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (4, 0, −5) و b = (k, 2, 2) متعامدين.

a = (4, 0, −5)b = (k, 2, 2)

k =

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (−2, 5, 5) و b = (−3, 5, 0) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته y n̂_y.

a = (−2, 5, 5)b = (−3, 5, 0)n̂_z > 0

n̂_y =

3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طولها كله وحملًا مركّزًا P على بعد 3 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A عند الجدار.

L = 4 mP = 50 kN عند 3 mw = 3 kN/m من 0 إلى 4 m

R_A = kN

4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 4 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 3 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 20 kN عند 3 m

M_A = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 20 kN ↓D: 40 kN ↓G: 15 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kNالحمل الأفقي = 25 kN →

F_AC = kN

7.الإطارات والآلاتمتوسطة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 4 m، ومسمار قمته C على ارتفاع 3,6 m والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1 m فوق الأرض. يؤثر حمل رأسي 10 kN على الساق AC عند K التي تبعد 0,8 m (أفقيًا) عن A. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 10 kNAB = 4 mارتفاع C = 3,6 mارتفاع DE = 1 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,8 m

T = kN

8.الإطارات والآلاتصعبة

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 5 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 4 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 1 m. تؤثر قوة أفقية 10 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 10 kNAB = 5 mارتفاع C = 4 mارتفاع DE = 1 m

T = kN

9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 8 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 5,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 5,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m

x_c = m

11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 160 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 130 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 20 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 160 mmh = 130 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 160 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_الأعلى = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = 2,5

الضرب القياسي: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = 4·k + 0·2 + (−5)·2 = 0

−10 + 4·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −(−10)/4 = 2,5

الإجابة

k = 2,5

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂_y = −0,5071

الضرب الاتجاهي: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو M_O = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = 5·0 − 5·5 = −25

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·(−3) − (−2)·0 = −15

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = (−2)·5 − 5·(−3) = 5

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b موجبة أصلًا.

|a × b| = √((−25)² + (−15)² + 5²) = 29,58

n̂ = (−25, −15, 5)/29,58 = (−0,8452, −0,5071, 0,169)

n̂_y = −0,5071

الإجابة

n̂_y = −0,5071

3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 62 kN

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 3·4 = 12 kN, x̄ = 2 m

الاتزان الرأسي

R_A = P + W = 50 + 12 = 62 kN

الإجابة

R_A = 62 kN

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 108 kN·m

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 12·4 + 20·3 = 108 kN·m

الإجابة

M_A = 108 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 27,5 kN (T), BC: 27,5 kN (T), CD: 47,5 kN (T), DE: 47,5 kN (T), FG: 55 kN (C), GH: 55 kN (C), AF: 38,89 kN (C), HE: 67,18 kN (C), BF: 0, CG: 15 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 38,89 kN (T), HC: 10,61 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 34,38 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·3 + 25·4 → C_y = 27,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 27,5 = 12,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/6,403 = 0,6247, cos γ = 5/6,403 = 0,7809

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −27,5/0,6247 = −44,02 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−44,02)·0,7809 = 34,38 kN

الإجابة

F_AC = 34,38 kN (شدّ)

7.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 1,538 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣF_x = 0 وΣF_y = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y = 10·0,8/4 = 2 kN

الساق BC: العزوم حول C

2·2 = T·2,6

T = 1,538 kN

الإجابة

T = 1,538 kN

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 6,667 kN

الإطار كاملًا: العزوم حول A

B_y·5 = 10·4

B_y = 8 kN

الساق BC: العزوم حول C

8·2,5 = T·3

T = 6,667 kN

الإجابة

T = 6,667 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 51 kN, R₂ = 66 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 90, M_C = 156, M_D = 198, M_E = 216 kN·m, M_F = 120, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 216 kN·m

10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 3,438 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·5,5 = 55 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·5,5·2,75

R_B = 151,3/4 = 37,81 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 37,81 = 17,19 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·17,19/10 = 3,438 m

الإجابة

x_c = 3,438 m

11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 12,37 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 160·20 = 3200 mm², y₁ = 10 mm

الساقان: A₂ = 2·20·110 = 4400 mm², y₂ = 20 + 110/2 = 75 mm

المركز

ȳ = (3200·10 + 4400·75)/7600 = 47,63 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 160·20³/12 + 3200·(10 − 47,63)² = 4,638 × 10⁶ mm⁴

الساقان: 2·20·110³/12 + 4400·(75 − 47,63)² = 7,732 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,638 × 10⁶ + 7,732 × 10⁶

I_x = 1,237 × 10⁷ mm⁴ = 12,37 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 12,37 × 10⁶ mm⁴

12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 53,08 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·25 = 4000 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

الجذع: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·212,5 + 4000·100)/8000 = 156,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·25³/12 + 4000·(212,5 − 156,3)² = 1,286 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 20·200³/12 + 4000·(100 − 156,3)² = 2,599 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,286 × 10⁷ + 2,599 × 10⁷ = 3,885 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 225 − 156,3 = 68,75 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·68,75/3,885 × 10⁷ = 53,08 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 53,08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics