الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد قيمة k التي يكون عندها المتّجهان a = (−6, 5, −4) و b = (0, −3, k) متعامدين.

a = (−6, 5, −4)b = (0, −3, k)
k =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzABC

أوجد مساحة A المثلث الذي رؤوسه A(−4, 0, 0) و B(0, 3, −4) و C(−3, −3, 0). الإحداثيات بالمتر.

A(−4, 0, 0)B(0, 3, −4)C(−3, −3, 0)
A = m²
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 50 kNP2​ = 80 kNABCRA​ = ?1,5 m1 m1,5 m

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 2,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 50 kN عند 1,5 mP2 = 80 kN عند 4 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 8 kN/mP = 25 kNQ = 40 kNADCMA​ = ?0,5 m2,5 m0,5 m2,5 m

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 6 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 3,5 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله وحملًا مركّزًا Q على بعد 0,5 m من A. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.

AC = 3 mAD = 6 mP = 25 kN عند 3,5 mw = 8 kN/m من 3 إلى 6 mQ = 40 kN عند 0,5 m
MA = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB30 kN4 m3 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH35 kN10 kN30 kN30 kN4 × 4 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 35 kN ↓F: 10 kN ↓G: 30 kN ↓H: 30 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
2 kN3 m0,8 m1,7 mABCDE

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,5 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m فوق الأرض. يؤثر حمل 2 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 2 kNAB = 3 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 0,8 m
C = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
w = 1 kN/m10 kN1,5 m0,5 m0,5 mABCD

العارضة AB في الكابول الجداري الموضح مثبتة بمسمار عند A ومسنودة بالدعامة CD (النقطة C تحت A بمسافة 0,5 m). تحمل العارضة حملًا منتظمًا 1 kN/m على طولها كله وحملًا مركّزًا 10 kN عند طرفها الحر B. أوجد القوة FCD في الدعامة.

w = 1 kN/mP = 10 kNAD = 1,5 mAB = 2 mAC = 0,5 m
FCD = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
40 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 4 m55 kN @ 2 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
12 kN/m60 kN60 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

60 kN @ 12 m60 kN @ 4 m12 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
3002516014xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 300 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 160 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
200 mm150 mm45 mm80 × 50xIx​ = ?

لوح أبعاده 200 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 80 mm وارتفاعها 50 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 45 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 150 mmالفتحة: 80 × 50 mmمركز الثقب: y = 45 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: k = −3,75

الضرب القياسي: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الضرب القياسي يساوي صفرًا

a·b = (−6)·0 + 5·(−3) + (−4)·k = 0
−15 + (−4)·k = 0

حلّ لإيجاد k

k = −(−15)/(−4) = −3,75

الإجابة

k = −3,75
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: A = 9,811 m²

الضرب الاتجاهي: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.

متّجها الضلعين

AB = B − A = (4, 3, −4)
AC = C − A = (1, −3, 0)

الضرب الاتجاهي

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 3·0 − (−4)·(−3) = −12
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−4)·1 − 4·0 = −4
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = 4·(−3) − 3·1 = −15
|AB × AC| = √((−12)² + (−4)² + (−15)²) = 19,62

مساحة المثلث

A = ½·19,62 = 9,811 m²

الإجابة

A = 9,811 m²
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = −28 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣMA = 0: RB·2,5 = 50·1,5 + 80·4
RB = 395/2,5 = 158 kN

الاتزان الرأسي

RA = 50 + 80 − 158 = −28 kN

الإجابة

RA = −28 kN

RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: MA = 118,5 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 8·3 = 24 kN عند 1,5 m من C
ΣMC = 0: RD·3 = 25·0,5 + 24·1,5
RD = 16,17 kN
VC = 49 − 16,17 = 32,83 kN

الجزء AC

قوة المفصل VC تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

RA = 40 + 32,83 = 72,83 kN
MA = 40·0,5 + 32,83·3 = 118,5 kN·m

الإجابة

MA = 118,5 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 11,25 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −22,5/0,8944 = −25,16 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−25,16)·0,4472 = 11,25 kN

الإجابة

FAC = 11,25 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 26,25 kN (T), BC: 37,5 kN (T), CD: 37,5 kN (T), DE: 18,75 kN (T), FG: 56,25 kN (C), GH: 48,75 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 26,52 kN (C), BF: 46,25 kN (T), CG: 0, DH: 18,75 kN (T), BG: 15,91 kN (C), DG: 26,52 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 1,334 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الرباط من الساق BC

By = 1 kN
T = 1·1,5/1,7 = 0,8824 kN

مركّبتا قوة المسمار على BC

Cx = T = 0,8824 kN, Cy = −By = −1 kN

المقدار

C = √(0,8824² + 1²) = 1,334 kN

الإجابة

C = 1,334 kN
8.الإطارات والآلات

الإجابة: FCD = 46,38 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

محصلة الحمل المنتظم

w·L = 1·2 = 2 kN عند 1 m

العزوم حول A للعارضة

FCD·0,3162·1,5 = 2·1 + 10·2 = 22 kN·m
FCD = 46,38 kN

الإجابة

FCD = 46,38 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 72,5 kN, R2 = 22,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 145, MC = 180 kN·m, MD = 135, ME = 90, MF = 45, MG = 0

الإجابة

علامة C: MC = 180 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 48 kN, R2 = 168 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 72, MC = 96, MD = −48, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = −240 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 19,93 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 300·25 = 7500 mm², yf = 160 + 25/2 = 172,5 mm
الجذع: Aw = 14·160 = 2240 mm², yw = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7500·172,5 + 2240·80)/9740 = 151,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 300·25³/12 + 7500·(172,5 − 151,2)² = 3,785 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 14·160³/12 + 2240·(80 − 151,2)² = 1,614 × 10⁷ mm⁴
Ix = 3,785 × 10⁶ + 1,614 × 10⁷ = 1,993 × 10⁷ mm⁴ = 19,93 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 19,93 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 51,26 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·75 − 4000·45)/(30000 − 4000) = 79,62 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·150³/12 + 30000·−4,615² = 56,89 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

80·50³/12 + 4000·−34,62² = 5,626 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 51,26 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 51,26 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics