الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzdFAB

تؤثّر قوة ثابتة F = (−30, 20, 20) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−3, 1, 1) إلى النقطة B(−1, 4, −5). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−30, 20, 20) NA(−3, 1, 1) mB(−1, 4, −5) m
W = J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzab

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (−2, 2, 5) و b = (2, 4, −3) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته y n̂y.

a = (−2, 2, 5)b = (2, 4, −3)n̂z > 0
n̂y =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 40 kNP2​ = 70 kNABCRA​ = ?1 m4 m3 m

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 40 kN عند 1 mP2 = 70 kN عند 8 m
RA = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 4 mP = 55 kN عند 1 mw = 5 kN/m من 0 إلى 2 m
RB = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH40 kN40 kN40 kN15 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 40 kN ↓D: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 15 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB30 kN5 kN4 m1 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kNالحمل الأفقي = 5 kN ←
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
12 kN1,6 m2 m0,5 mABCD

عارضة أفقية AB مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومسنودة بالدعامة CD المثبتة بمسمار بالجدار عند C، تحت A بمسافة 0,5 m. يتدلى حمل 12 kN عند B. أهمل الأوزان. أوجد مقدار قوة المسمار A على العارضة عند A.

P = 12 kNAD = 1,6 mAB = 3,6 mAC = 0,5 m
A = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
5 kN2,4 m0,8 m1,7 mABCDE

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 2,4 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,5 m، ويربطهما القضيب الأفقي DE على ارتفاع 0,8 m. تؤثر قوة أفقية 5 kN نحو اليمين عند C. أوجد قوة الشد T في الرباط.

P = 5 kNAB = 2,4 mارتفاع C = 2,5 mارتفاع DE = 0,8 m
T = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
45 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 4 m40 kN @ 5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
4 kN/m30 kN50 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 0 m50 kN @ 6 m45 kN @ 2 m4 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
200160t = 12xالأبعاد بالـ mm

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 200 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 160 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 12 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي Ix حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 200 mmh = 160 mmt = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2002510020xM = 5 kN·mالأبعاد بالـ mm

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σالأسفل عند الحافة السفلية.

bf = 200 mmtf = 25 mmtw = 20 mmhw = 100 mmM = 5 kN·m
σالأسفل = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = −120 J

الضرب القياسي: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (−1, 4, −5) − (−3, 1, 1) = (2, 3, −6) m

الشغل

W = F·d = (−30)·2 + 20·3 + 20·(−6) = −120 J

الإجابة

W = −120 J

شغل سالب: القوة تؤثّر في الغالب عكس الحركة.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂y = −0,1383

الضرب الاتجاهي: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)x = aybz − azby = 2·(−3) − 5·4 = −26
(a × b)y = azbx − axbz = 5·2 − (−2)·(−3) = 4
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·4 − 2·2 = −12

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b سالبة، لذا استخدم −(a × b).

|a × b| = √((−26)² + 4² + (−12)²) = 28,91
n̂ = −(−26, 4, −12)/28,91 = (0,8992, −0,1383, 0,415)
n̂y = −0,1383

الإجابة

n̂y = −0,1383
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = −10 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣMA = 0: RB·5 = 40·1 + 70·8
RB = 600/5 = 120 kN

الاتزان الرأسي

RA = 40 + 70 − 120 = −10 kN

الإجابة

RA = −10 kN

RA سالب: على المسمار عند A أن يمسك الكمرة إلى الأسفل.

4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 16,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN، تؤثّر عند x̄ = 1 m
ΣMA = 0: RB·4 = 55·1 + 5·2·1
RB = 65/4 = 16,25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 16,25 = 48,75 kN

الإجابة

RB = 16,25 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 47,81 kN (T), BC: 65,62 kN (T), CD: 65,62 kN (T), DE: 53,44 kN (T), FG: 47,81 kN (C), GH: 53,44 kN (C), AF: 79,69 kN (C), HE: 89,06 kN (C), BF: 63,75 kN (T), CG: 0, DH: 56,25 kN (T), BG: 29,69 kN (C), DG: 20,31 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 3,75 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB30 kN5 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 30·1 − 5·3 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 3,75 = 26,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,75/0,7071 = −5,303 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−5,303)·0,7071 = 3,75 kN

الإجابة

FAC = 3,75 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: A = 87,69 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الدعامة

FCD = 12·3,6/(0,2983·1,6) = 90,52 kN

المركّبتان عند A

Ax = FCD·cos α = 86,4 kN (نحو الجدار)
Ay = 12 − FCD·sin α = −15 kN

المقدار

A = √(86,4² + −15²) = 87,69 kN

الإجابة

A = 87,69 kN

القيمة السالبة لـ Ay تعني أن الجدار يشدّ العارضة إلى الأسفل عند A.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: T = 3,676 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

الإطار كاملًا: العزوم حول A

By·2,4 = 5·2,5
By = 5,208 kN

الساق BC: العزوم حول C

5,208·1,2 = T·1,7
T = 3,676 kN

الإجابة

T = 3,676 kN

القيمة الموجبة لـ T تعني أن الرباط في شدّ، كما افتُرض.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 21,67 kN, R2 = 63,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 21,67, MC = 43,33, MD = 65, ME = 86,67 kN·m, MF = 63,33, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = 86,67 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 42,67 kN, R2 = 94,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −30, MC = −19,33, MD = −57,67, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = −100 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 15,68 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A1 = 200·12 = 2400 mm², y1 = 6 mm
الساقان: A2 = 2·12·148 = 3552 mm², y2 = 12 + 148/2 = 86 mm

المركز

ȳ = (2400·6 + 3552·86)/5952 = 53,74 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 200·12³/12 + 2400·(6 − 53,74)² = 5,499 × 10⁶ mm⁴
الساقان: 2·12·148³/12 + 3552·(86 − 53,74)² = 1,018 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,499 × 10⁶ + 1,018 × 10⁷
Ix = 1,568 × 10⁷ mm⁴ = 15,68 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 15,68 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σالأسفل = 63,03 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 200·25 = 5000 mm², yf = 100 + 25/2 = 112,5 mm
الجذع: Aw = 20·100 = 2000 mm², yw = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5000·112,5 + 2000·50)/7000 = 94,64 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·25³/12 + 5000·(112,5 − 94,64)² = 1,855 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 20·100³/12 + 2000·(50 − 94,64)² = 5,653 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,855 × 10⁶ + 5,653 × 10⁶ = 7,507 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 94,64 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·94,64/7,507 × 10⁶ = 63,03 MPa

الإجابة

σالأسفل = 63,03 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics