طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.
الإطارات والآلات
اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
الطريقة
ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.
قوة القص وعزم الانحناء
القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8
الطريقة
أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2مسائل تدريبية
1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
أوجد الزاوية θ بين المتّجهين a = (−5, −1, 3) و b = (1, −6, −1)، بالدرجات.
a = (−5, −1, 3)b = (1, −6, −1)
θ = °
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
للمتّجهين a = (−2, 0, −4) و b = (0, 6, −2)، أوجد المركّبة x (a × b)x للضرب الاتجاهي a × b.
a = (−2, 0, −4)b = (0, 6, −2)
(a × b)x =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طولها كله وحملًا مركّزًا P على بعد 3 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.
L = 4 mP = 45 kN عند 3 mw = 2 kN/m من 0 إلى 4 m
MA = kN·m
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 0,5 m من A، مائلًا بزاوية 50° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 2 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية RA عند المسمار A.
L = 4 mP = 35 kN عند 0,5 m, θ = 50°Q = 60 kN عند 2 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 6 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.
البحر = 8 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kNالحمل الأفقي = 15 kN ←
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
تدور الذراع الزاوية الموضحة حول المسمار O. تتوازن قوة رأسية 250 N عند A (على بُعد 200 mm من O) مع قوة أفقية عند B (على ارتفاع 100 mm فوق O). أوجد مقدار رد فعل المسمار FO.
F = 250 NOA = 200 mmOB = 100 mm
FO = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
ذراع AB أفقية منتظمة وزنها 1 kN مثبتة بمسمار بالجدار عند A ومشدودة بكابل من B إلى النقطة C على الجدار فوق A بمسافة 2,5 m. يتدلى حمل 12 kN عند B. أوجد مقدار رد فعل المسمار A.
W = 12 kNWb = 1 kNAB = 6 mAC = 2,5 m
A = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
30 kN @ 6 m12 kN/m, 0–10 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد عزم الانحناء MB عند الركيزة B. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 8,5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 8,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m
MB = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 240 mm، وارتفاعه الخارجي H = 400 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 20 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.
B = 240 mmH = 400 mmt = 20 mm
r = mm
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 30 MPa في الشد و 90 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة.
الضرب القياسي:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ، وهو كمية قياسية. يعطي الزاوية بين متّجهين، cos θ = a·b/(|a|·|b|)، ويساوي صفرًا عندما يكونان متعامدين. المسقط القياسي لـ a على b هو a·b/|b|، والقوة الثابتة F التي تتحرّك خلال إزاحة d تبذل شغلًا W = F·d.
الضرب القياسي
a·b = (−5)·1 + (−1)·(−6) + 3·(−1) = −2
المقداران
|a| = √((−5)² + (−1)² + 3²) = 5,916
|b| = √(1² + (−6)² + (−1)²) = 6,164
الزاوية
cos θ = −2/(5,916·6,164) = −0,05484
θ = arccos(−0,05484) = 93,14°
الإجابة
θ = 93,14°
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي
الإجابة: (a × b)x = 24
الضرب الاتجاهي:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) عمودي على المتّجهين كليهما، و |a × b| = |a|·|b|·sin θ هي مساحة متوازي الأضلاع الذي يحدّدانه (والمثلث نصفها). الترتيب مهم: b × a = −(a × b). عزم القوة F المؤثّرة عند النقطة A حول النقطة O هو MO = r × F، مع r = A − O.
الضرب الاتجاهي، مركّبةً مركّبة
(a × b)x = aybz − azby = 0·(−2) − (−4)·6 = 24
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·0 − (−2)·(−2) = −4
(a × b)z = axby − aybx = (−2)·6 − 0·0 = −12
المركّبة المطلوبة
(a × b)x = 24
الإجابة
(a × b)x = 24
تحقّق: a × b عمودي على المتّجهين كليهما، لذا ضربه القياسي مع a ومع b صفر.
3.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: MA = 151 kN·m
اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.
محصّلة الحمل الموزّع
W = 2·4 = 8 kN, x̄ = 2 m
العزم حول الجدار
MA = P·a + W·x̄ = 45·3 + 8·2 = 151 kN·m
الإجابة
MA = 151 kN·m
4.ردود أفعال ركائز الكمرات
الإجابة: RA = 58 kN
الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.
مركّبتا P
Pv = 35·sin 50° = 26,81 kN
Ph = 35·cos 50° = 22,5 kN
ردود الأفعال
ΣMA = 0: RB·4 = 26,81·0,5 + 60·2 → RB = 33,35 kN
Ay = 26,81 + 60 − 33,35 = 53,46 kN
Ax = Ph = 22,5 kN
المحصّلة عند A
RA = √(22,5² + 53,46²) = 58 kN
الإجابة
RA = 58 kN
5.الجملون: طريقة العقد
الإجابة: FAC = 12,5 kN
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·6 = 30·5 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 25 = 5 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.
ردود أفعال الركائز
اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.
ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 − 15·2 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
العقدة C
البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).
القوة عند B
Q = 250·200/100 = 500 N
رد فعل المسمار
Ox = 500 N, Oy = 250 N
FO = √(500² + 250²) = 559 N
الإجابة
FO = 559 N
8.الإطارات والآلات
الإجابة: A = 30 kN
الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.
قوة الشد في الكابل
T = (12 + 1/2)/0,3846 = 32,5 kN
المركّبتان عند A
Ax = T·cos β = 30 kN
Ay = 12 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
المقدار
A = √(30² + 0,5²) = 30 kN
الإجابة
A = 30 kN
9.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: D (x = 6 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 85 kN, R2 = 65 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 146, MC = 244, MD = 294 kN·m, ME = 236, MF = 130, MG = 0
الإجابة
علامة D: MD = 294 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: MB = −37,5 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·8,5 = 102 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,25 m
ΣMA = 0: RB·6 = 12·8,5·4,25
RB = 433,5/6 = 72,25 kN
ΣFy = 0: RA = 102 − 72,25 = 29,75 kN
اقطع عند B واحتفظ بالجزء البارز
الحمل على الجزء البارز، w·a، يؤثّر على بعد a/2 من B ويجعل الكمرة تتحدّب فوق الركيزة.
MB = −w·a²/2 = −12·2,5²/2 = −37,5 kN·m
الإجابة
MB = −37,5 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: r = 144,7 mm
عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = Ic + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.
المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي
b = 200 mm, h = 360 mm
A = BH − bh = 240·400 − 200·360 = 24000 mm²
I = (BH³ − bh³)/12 = 5,024 × 10⁸ mm⁴
نصف قطر الدوران
r = √(I/A) = √(5,024 × 10⁸/24000) = 144,7 mm
الإجابة
r = 144,7 mm
12.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Mallow = 4,89 kN·m
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.