الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzdFAB

تؤثّر قوة ثابتة F = (−25, −15, 10) N على جسم بينما يتحرّك في خط مستقيم من النقطة A(−2, −1, −2) إلى النقطة B(−4, −5, 4). الإحداثيات بالمتر. أوجد الشغل W الذي تبذله القوة.

F = (−25, −15, 10) NA(−2, −1, −2) mB(−4, −5, 4) m
W = J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzabc

أوجد حجم V متوازي السطوح الذي أضلاعه من رأس واحد a = (0, 1, 4) و b = (−2, 1, 5) و c = (−2, 4, 5).

a = (0, 1, 4)b = (−2, 1, 5)c = (−2, 4, 5)
V =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 15 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​ = ?1 m2 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 4 mP1 = 15 kN عند 1 mP2 = 45 kN عند 3 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 4 kN/mP = 45 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m2 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 6 mP = 45 kN عند 4 mw = 4 kN/m من 0 إلى 1 m
RB = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH25 kN20 kN40 kN20 kN4 × 4 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 25 kN ↓D: 20 kN ↓G: 40 kN ↓H: 20 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB35 kN30 kN6 m5 m4 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 30 kN →
FAC = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
15 kN3 m1,2 m1,2 mABCDE

يقف الإطار A الموضح على مسمار عند A ومسند دحرجي عند B والمسافة بينهما 3 m. تلتقي الساقان عند المسمار C على ارتفاع 2,4 m، والرباط الأفقي DE على ارتفاع 1,2 m فوق الأرض. يؤثر حمل 15 kN عند C. أوجد مقدار القوة C التي يؤثر بها المسمار C على الساق BC.

P = 15 kNAB = 3 mارتفاع C = 2,4 mارتفاع DE = 1,2 m
C = kN
8.الإطارات والآلاتصعبة
12 kN5 kN8 m2,5 m2,4 mABCK

للإطار الموضح مسامير عند A وB وC؛ النقطتان A وC مثبتتان بالأرض والمسافة بينهما 8 m، والنقطة B على ارتفاع 2,5 m وعلى بُعد 2,4 m إلى يمين A. يحمل العنصر AB حملًا رأسيًا 12 kN عند K التي تبعد 0,6 m (أفقيًا) عن A، ويؤثر حمل أفقي 5 kN نحو اليمين عند B على العنصر AB. أوجد مقدار رد الفعل الأفقي Ax عند A.

P = 12 kNQ = 5 kNL = 8 mH = 2,5 mالمسافة الأفقية من A إلى B = 2,4 mالمسافة الأفقية من A إلى K = 0,6 m
Ax = kN
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
8 kN/m40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 4 m8 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 2 kN/mP = 55 kNABمقطع4 m1 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 55 kN عند 4 mw = 2 kN/m من 0 إلى 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
1202012010xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 10 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2601514012xM = 10 kN·mالأبعاد بالـ mm

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 10 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σالأعلى عند الحافة العلوية.

bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 140 mmM = 10 kN·m
σالأعلى = MPa

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: W = 170 J

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

الإزاحة

d = B − A = (−4, −5, 4) − (−2, −1, −2) = (−2, −4, 6) m

الشغل

W = F·d = (−25)·(−2) + (−15)·(−4) + 10·6 = 170 J

الإجابة

W = 170 J
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: V = 24

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي b × c

(b × c)x = bycz − bzcy = 1·5 − 5·4 = −15
(b × c)y = bzcx − bxcz = 5·(−2) − (−2)·5 = 0
(b × c)z = bxcy − bycx = (−2)·4 − 1·(−2) = −6

الضرب القياسي مع a

a·(b × c) = 0·(−15) + 1·0 + 4·(−6) = −24
V = |−24| = 24

الإجابة

V = 24
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 37,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 15 kNP2​ = 45 kNABRA​RB​1 m2 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·4 = 15·1 + 45·3
RB = 150/4 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 37,5 = 22,5 kN

الإجابة

RB = 37,5 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 30,33 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 4 kN/mP = 45 kNABRA​RB​1 m3 m2 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·1 = 4 kN، تؤثّر عند x̄ = 0,5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 45·4 + 4·1·0,5
RB = 182/6 = 30,33 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 30,33 = 18,67 kN

الإجابة

RB = 30,33 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 42,5 kN (T), BC: 42,5 kN (T), CD: 62,5 kN (T), DE: 62,5 kN (T), FG: 85 kN (C), GH: 85 kN (C), AF: 60,1 kN (C), HE: 88,39 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 60,1 kN (T), HC: 31,82 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 12,29 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB35 kN30 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·5 + 30·4 → Cy = 49,17 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 49,17 = −14,17 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −49,17/0,9701 = −50,68 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−50,68)·0,2425 = 12,29 kN

الإجابة

FAC = 12,29 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: C = 12,01 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

قوة الرباط من الساق BC

By = 7,5 kN
T = 7,5·1,5/1,2 = 9,375 kN

مركّبتا قوة المسمار على BC

Cx = T = 9,375 kN, Cy = −By = −7,5 kN

المقدار

C = √(9,375² + 7,5²) = 12,01 kN

الإجابة

C = 12,01 kN
8.الإطارات والآلات

الإجابة: Ax = 0,516 kN

الإطارات والآلات: خلافًا للجملون، يحتوي الإطار على عنصر واحد على الأقل يحمل قوى عند أكثر من نقطتين، أو حملًا بين مسماريه. ابحث أولًا عن العناصر ثنائية القوة: العنصر المحمّل عند مسمارين فقط تعمل قوته على الخط المار بهما، فيضيف مجهولًا واحدًا لا اثنين. ثم استخدم الهيكل كله لإيجاد ردود أفعال المساند حين لا يزيد عدد المجاهيل على ثلاثة. وأخيرًا فكّك الإطار: ارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين تربطهما، واكتب له ΣFx = 0 وΣFy = 0 وΣM = 0. أخذ العزوم حول مسمار يزيل مركّبتي قوة ذلك المسمار من المعادلة.

اتجاه BC

BC = 6,133 m, cos = 0,9131, sin = 0,4077

الإطار كاملًا: العزوم حول A

FBC·0,4077·8 = 12·0,6 + 5·2,5
FBC = 6,041 kN

الاتزان الأفقي

Ax + 5 − 6,041·0,9131 = 0
Ax = 0,516 kN → |Ax| = 0,516 kN

الإجابة

Ax = 0,516 kN

تتجه Ax نحو اليمين.

9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 37,33 kN, R2 = 50,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 33,33, MC = 58,67, MD = 76, ME = 85,33 kN·m, MF = 46,67, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = 85,33 kN·m
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 48 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·4 + 2·5·2,5
RB = 245/5 = 49 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 49 = 16 kN
w = 2 kN/mP = 55 kNABRA​ = 16RB​ = 49مقطع4 m1 m

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 16·4 − 2·4·2 = 48 kN·m

الإجابة

Mx = 48 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 5,44 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 120 + 20/2 = 130 mm
الجذع: Aw = 10·120 = 1200 mm², yw = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·130 + 1200·60)/3600 = 106,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·20³/12 + 2400·(130 − 106,7)² = 1,387 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 10·120³/12 + 1200·(60 − 106,7)² = 4,053 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,387 × 10⁶ + 4,053 × 10⁶ = 5,44 × 10⁶ mm⁴ = 5,44 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 5,44 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σالأعلى = 31,24 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 140 + 15/2 = 147,5 mm
الجذع: Aw = 12·140 = 1680 mm², yw = 140/2 = 70 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3900·147,5 + 1680·70)/5580 = 124,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·15³/12 + 3900·(147,5 − 124,2)² = 2,196 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 12·140³/12 + 1680·(70 − 124,2)² = 7,673 × 10⁶ mm⁴
Ix = 2,196 × 10⁶ + 7,673 × 10⁶ = 9,87 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 155 − 124,2 = 30,83 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·30,83/9,87 × 10⁶ = 31,24 MPa

الإجابة

σالأعلى = 31,24 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics