الاستاتيكا: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

المقدار
|a| = √(ax² + ay² + az²)
متّجه الوحدة
û = a/|a|
المركّبات من زاوية
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
الضرب القياسي
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
الإسقاط القياسي للمتجه a على المتجه b
a·b/|b|
الشغل
W = F·d
الضرب الاتجاهي
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
المساحات
متوازي الأضلاع |a × b|، المثلث ½|a × b|
العزم حول O
MO = r × F, r = A − O
حجم متوازي السطوح
V = |a·(b × c)|

الطريقة

  1. اكتب كل متجه بمركّباته؛ وللقوة المعطاة بمقدارها وزاويتها استخدم F·cos θ وF·sin θ.
  2. للأطوال والاتجاهات استخدم المقدار √(x² + y² + z²) ومتجه الوحدة a/|a|.
  3. استخدم الضرب القياسي للزوايا والإسقاطات والتعامد والشغل: a·b = |a||b|cos θ.
  4. استخدم الضرب الاتجاهي للمتجهات المتعامدة والمساحات والعزوم: اكتب المركّبات الثلاث بعناية مع الحفاظ على الترتيب a × b.

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

الإطارات والآلات

اتزان كل عنصر
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
عنصر ثنائي القوة
القوة تعمل على الخط المار بمسماريه
قوة المسمار
متساوية ومتعاكسة على العنصرين اللذين يربطهما
مقدار قوة المسمار
F = √(Fx² + Fy²)
الرافعة، الزرادية، الذراع الزاوية
Fin·a = Fout·b
آلية المفصل الركبي
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل

الطريقة

  1. ارسم الهيكل كاملًا وأوجد ردود أفعال المساند إذا لم يزد عدد المجاهيل على ثلاثة.
  2. حدد العناصر ثنائية القوة: هي محمّلة عند مسمارين فقط، وقوتها تعمل على الخط الواصل بينهما.
  3. فكّك الإطار وارسم كل عنصر على حدة، مع قوى مسامير متساوية ومتعاكسة عند ملتقى العناصر.
  4. لكل عنصر، خذ العزوم حول مسمار تعمل عنده قوى مجهولة، ثم استخدم ΣFx = 0 وΣFy = 0؛ واجمع المركّبات في مقدار واحد في النهاية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2مسائل تدريبية

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيمتوسطة
xyzab

أوجد الضرب القياسي a·b للمتّجهين a = (−6, 4, −6) و b = (−1, 5, −2).

a = (−6, 4, −6)b = (−1, 5, −2)
a·b =
2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهيصعبة
xyzab

متّجه الوحدة n̂ عمودي على a = (4, 3, −5) و b = (0, −5, 5) كليهما وله مركّبة z موجبة. أوجد مركّبته y n̂y.

a = (4, 3, −5)b = (0, −5, 5)n̂z > 0
n̂y =
3.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​ = ?1 m6 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 8 mP1 = 60 kN عند 1 mP2 = 25 kN عند 7 m
RB = kN
4.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
P = 25 kN, 50°Q = 75 kNABRA​ = ?1 m2 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 1 m من A، مائلًا بزاوية 50° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 3 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية RA عند المسمار A.

L = 4 mP = 25 kN عند 1 m, θ = 50°Q = 75 kN عند 3 m
RA = kN
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH40 kN35 kN30 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 40 kN ↓C: 35 kN ↓G: 30 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB15 kN15 kN4 m3 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kNالحمل الأفقي = 15 kN →
FAB = kN
7.الإطارات والآلاتمتوسطة
100 NQ = ?10°ABC

في مشبك المفصل الركبي الموضح، يرتبط الذراعان المتساويان AB وBC بمسمار عند B، ويصنع كل منهما زاوية 10° مع الخط AC. تؤثر قوة هابطة 100 N عند B. يضغط المنزلق C قطعة عمل. بإهمال الاحتكاك والأوزان، أوجد قوة الإطباق الأفقية Q.

F = 100 Nθ = 10°
Q = N
8.الإطارات والآلاتصعبة
F = ?5000 N30 mmABC

في مكبس ذي مفصل ركبي ذراعان متساويان AB وBC طول كل منهما 120 mm بين المسمارين. يقع المفصل B على ارتفاع 30 mm فوق الخط AC. ما القوة الهابطة F عند B التي تنتج قوة ضغط أفقية 5000 N عند المنزلق C؟ أهمل الاحتكاك والأوزان.

Q = 5000 NAB = BC = 120 mmh = 30 mm
F = N
9.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 3 kN/mABمقطع1 m5 m

أوجد قوة القص Vx عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 3 kN/m من 0 إلى 6 mx = 1 m
Vx = kN
10.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
5 kN/m35 kN45 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 0 m45 kN @ 6 m20 kN @ 3 m5 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
11.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
200 mm150 mm90 mmØ40xIx​ = ?

لوح أبعاده 200 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
190280182301414xالأبعاد بالـ mm

مقطع I ملحوم له شفة علوية 190 × 18 mm، وجذع ارتفاعه 230 mm وسُمكه 14 mm، وشفة سفلية 280 × 14 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي Ix حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 190 × 18 mmالجذع: 14 × 230 mmالشفة السفلية: 280 × 14 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴

3المحاليل

1.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: a·b = 38

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

اضرب المركّبات المتناظرة واجمع

a·b = (−6)·(−1) + 4·5 + (−6)·(−2) = 6 + 20 + 12 = 38

الإجابة

a·b = 38

موجب: الزاوية بين المتّجهين أقل من 90°.

2.المتّجهات: الضرب القياسي والاتجاهي

الإجابة: n̂y = 0,6667

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

الضرب الاتجاهي

(a × b)x = aybz − azby = 3·5 − (−5)·(−5) = −10
(a × b)y = azbx − axbz = (−5)·0 − 4·5 = −20
(a × b)z = axby − aybx = 4·(−5) − 3·0 = −20

التسوية إلى الوحدة

المركّبة z لـ a × b سالبة، لذا استخدم −(a × b).

|a × b| = √((−10)² + (−20)² + (−20)²) = 30
n̂ = −(−10, −20, −20)/30 = (0,3333, 0,6667, 0,6667)
n̂y = 0,6667

الإجابة

n̂y = 0,6667
3.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 29,38 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 60 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1 m6 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·8 = 60·1 + 25·7
RB = 235/8 = 29,38 kN
ΣFy = 0: RA = 85 − 29,38 = 55,63 kN

الإجابة

RB = 29,38 kN
4.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 36,81 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مركّبتا P

Pv = 25·sin 50° = 19,15 kN
Ph = 25·cos 50° = 16,07 kN

ردود الأفعال

ΣMA = 0: RB·4 = 19,15·1 + 75·3 → RB = 61,04 kN
Ay = 19,15 + 75 − 61,04 = 33,11 kN
Ax = Ph = 16,07 kN

المحصّلة عند A

RA = √(16,07² + 33,11²) = 36,81 kN

الإجابة

RA = 36,81 kN
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 46,88 kN (T), BC: 46,88 kN (T), CD: 31,87 kN (T), DE: 31,87 kN (T), FG: 63,75 kN (C), GH: 63,75 kN (C), AF: 78,13 kN (C), HE: 53,12 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 28,13 kN (T), HC: 53,13 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAB = 10,61 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB15 kN15 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 15·3 + 15·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 22,5 = −7,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −−7,5/0,7071 = 10,61 kN

الإجابة

FAB = 10,61 kN (شدّ)
7.الإطارات والآلات

الإجابة: Q = 283,6 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

اتزان المسمار B

2·Flink·sin 10° = 100
Flink = 287,9 N

قوة الإطباق

Q = Flink·cos 10° = 100/(2·tan 10°) = 283,6 N

الإجابة

Q = 283,6 N

نسبة القوى Q/F = 2,836 تكبر بلا حدود كلما استقام الذراعان.

8.الإطارات والآلات

الإجابة: F = 2582 N

الآلات: تحوّل الزرادية والرافعات والوصلات والمشابك قوة دخل إلى قوة خرج أكبر أو بتوجيه مختلف. ارسم جزءًا واحدًا كجسم حر وخذ العزوم حول محوره: تسقط قوة المسمار، وتعطي Fin·a = Fout·b الفائدة الميكانيكية a/b. ثم تنتج قوة المسمار من ΣF = 0 على الجزء نفسه. وفي آلية المفصل الركبي يلتقي ذراعان بزاوية ضحلة θ؛ وكل ذراع عنصر ثنائي القوة، فتولّد قوة صغيرة F عند المفصل قوى كبيرة في الذراعين F/(2 sin θ) وقوة إطباق F/(2 tan θ).

زاوية الذراع

sin θ = 30/120 = 0,25, θ = 14,48°

قوة الذراع

Flink = Q/cos θ = 5164 N

القوة عند B

F = 2·Flink·sin θ = 2·5000·tan θ = 2582 N

الإجابة

F = 2582 N
9.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Vx = 6 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 9RB​ = 9مقطع1 m5 m

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = RA − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)
Vx = 9 − 3·1 = 6 kN

الإجابة

Vx = 6 kN
10.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 30,83 kN, R2 = 84,17 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −35, MC = −41,67, MD = −53,33, ME = −90 kN·m, MF = −45, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = −90 kN·m
11.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 55,83 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·75 − 1257·90)/(30000 − 1257) = 74,34 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·150³/12 + 30000·0,6558² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·15,66² = 0,4337 × 10⁶ mm⁴

اطرح

Ix = 55,83 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 55,83 × 10⁶ mm⁴
12.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 125 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 3420 mm², y = 253 mm
الجذع: A = 3220 mm², y = 129 mm
الشفة السفلية: A = 3920 mm², y = 7 mm

المركز

ȳ = (3420·253 + 3220·129 + 3920·7)/10560 = 123,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 190·18³/12 + 3420·129,1² = 5,712 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 14·230³/12 + 3220·5,129² = 1,428 × 10⁷ mm⁴
الشفة السفلية: 280·14³/12 + 3920·116,9² = 5,361 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5,712 × 10⁷ + 1,428 × 10⁷ + 5,361 × 10⁷
Ix = 1,25 × 10⁸ mm⁴ = 125 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 125 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics